《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

6. 已知一条弧的度数为 80°，则这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别是80°和40°.

答案： 80°　40°

7. 如图，A，B，C 分别是⊙O 上三个点，且 CA⊥AB. 若 CA = 2，AB = 4，则 OA 的长为$\sqrt{5}$.

答案： $\sqrt{5}$

8. 如图，△ABC 是⊙O 的内接锐角三角形，连结 AO. 设∠OAB = α，∠C = β，则 α + β =90°.

答案： 90°

9. 如图所示，已知 CO，CB 是⊙O'的弦，⊙O'与直角坐标系中的 x 轴，y 轴分别相交于点 B，A，且经过坐标原点，若∠COB = 45°，∠OBC = 75°，点 A 的坐标为(0，2)，求⊙O'的直径为4.

答案： 解:连结AB.
∵∠AOB = 90°,
∴AB是⊙O'的直径(90°的圆周角所对的弦是直径).
∵∠C = 180°−∠COB−∠OBC = 180°−45°−75° = 60°,
∴∠OAB = ∠C = 60°(同弧所对的圆周角相等),
∴∠ABO = 30°.又
∵点A的坐标为(0,2),
∴OA = 2.在Rt△ABO中,AB = 2OA = 4,即⊙O'的直径为4.

10. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 C 是优弧 ACB 上的一点(点 C 不与点 A，B 重合).
(1)当∠OAB = 35°时，求∠C 的度数；55°
(2)猜想∠OAB 与∠C 之间的关系，并给予证明.∠OAB + ∠C = 90°

答案： 解:
(1)如图，连结OB.
∵OA = OB,
∴∠OBA = ∠OAB = 35°,
∴∠AOB = 180°−∠OAB−∠OBA = 110°,
∴∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB = 55°;
(2)∠OAB + ∠C = 90°.证明如下:(证法一)如图，连结OB.
∵OA = OB,
∴∠OBA = ∠OAB,
∴∠AOB = 180°−2∠OAB,
∴∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$(180°−2∠OAB) = 90°−∠OAB,
∴∠OAB + ∠C = 90°; (证法二)如图，连结OB.
∵OA = OB,
∴∠AOB = 2∠C.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB,
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = ∠C.在Rt△AOD中,
∵∠OAD + ∠AOD = 90°,
∴∠OAB + ∠C = 90°.

11. 如图所示，在⊙O 中，AC，CD 是⊙O 的两条弦，AC = CD，延长 AC 至点 P，使 CP = AC，连结 PD 并延长交⊙O 于点 B，AB 是⊙O 的直径吗？为什么？

答案： 解:AB是⊙O的直径,理由如下:连结AD.
∵AC = CD,
∴∠CAD = ∠CDA.
∵AC = CP,
∴CP = CD,
∴∠P = ∠CDP.
∵∠CAD + ∠CDA + ∠P + ∠CDP = 180°,
∴∠CDA + ∠CDP = 90°,即∠ADP = 90°,
∴∠ADB = 90°,
∴AB为⊙O的直径.

12. 如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别相交于点 A，B，点 A 的坐标为(0，4)，点 M 是圆上的一点，∠BMO = 120°. 求⊙C 的半径和圆心 C 的坐标.

⊙C 的半径为4，圆心 C 的坐标为(−2√3,2).

答案： 解:连结AB.
∵∠AOB = 90°,
∴AB是⊙C的直径.
∵∠BMO = 120°,
∴$\overset{\frown}{OAB}$的度数是240°,
∴$\overset{\frown}{BO}$的度数是120°,
∴∠BAO = 60°,
∴在Rt△AOB中,∠ABO = 30°,AO = $\frac{1}{2}$AB.
∵点A的坐标为(0,4),
∴OA = 4,
∴AB = 8,OB = 4$\sqrt{3}$,
∴⊙C的半径为4,
∴圆心C的坐标为(−2$\sqrt{3}$,2).