《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

11. 利用图象解一元二次方程$x^{2}-2x - 1 = 0$时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线$y = x^{2}$和直线$y = 2x + 1$，两图象交点的横坐标就是该方程的解。
(1)请再给出一种利用图象求方程$x^{2}-2x - 1 = 0$的解的方法；
(2)已知函数$y = x^{3}$的图象(如图)，求方程$x^{3}-x - 2 = 0$的解。

答案：
解:
(1)方法:在直角坐标系中画出抛物线 $y = x^{2} - 1$和直线 $y = 2x$，其交点的横坐标就是方程的解;
(2)在图中画出直线 $y = x + 2$与函数 $y = x^{3}$的图象交于点 $B$，得点 $B$的横坐标 $x \approx 1.5$，$\therefore$方程的近似解为 $x \approx 1.5$。

12. 已知二次函数$y = x^{2}-2mx + m^{2}+3(m$是常数)。
(1)求证：不论$m$为何值，该函数的图象与$x$轴没有公共点；
(2)把该函数的图象沿$y$轴向下平移多少个单位后，得到的函数的图象与$x$轴只有一个公共点？

答案：
(1)证法一: $\because (-2m)^{2} - 4(m^{2} + 3) = -12 ＜ 0$，$\therefore$方程 $x^{2} - 2mx + m^{2} + 3 = 0$没有实数根，$\therefore$不论 $m$为何值，该函数的图象与 $x$轴没有公共点; 证法二: $\because a = 1 ＞ 0$，$\therefore$该函数的图象开口向上。又 $\because y = x^{2} - 2mx + m^{2} + 3 = (x - m)^{2} + 3 \geq 3$，$\therefore$该函数的图象在 $x$轴的上方，$\therefore$不论 $m$为何值，该函数的图象与 $x$轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿 $y$轴向下平移 3 个单位后，得到的函数的图象与 $x$轴只有一个公共点。