《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

11. 如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合。若点A的坐标为(-1,0)，求点C的坐标。

答案：
解：如图，连结 $ OB $，$ OC $。设 $ BC $ 交 $ y $ 轴于点 $ M $。易知
　　　　　　　　　　　　　　
$ \triangle OBC $ 为等边三角形，且边长为 1，$ OM \perp BC $，
∴ $ M C = \frac { 1 } { 2 } B C = \frac { 1 } { 2 } $，
∴ $ O M = \sqrt { O C ^ { 2 } - M C ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $，
∴点 $ C \left( \frac { 1 } { 2 }, - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \right) $。

12. 一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和的度数。

答案： 解：设这个正多边形的一个外角的度数为 $ x $。根据题意，得 $ 180 ^ { \circ } - x = 6 x + 12 ^ { \circ } $，解得 $ x = 24 ^ { \circ } $，
∴这个正多边形边数 $ = \frac { 360 ^ { \circ } } { 24 ^ { \circ } } = 15 $，
∴这个正多边形的内角和 $ = ( 15 - 2 ) \times 180 ^ { \circ } = 2340 ^ { \circ } $。

13. 如图，△ABC内接于⊙O，AB = AC，∠BAC = 36°，AB，AC的中垂线分别交⊙O于点E，F。求证：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形。

证明：连结OB，OC。∵OE，OF分别垂直平分AB，AC，∴AE = BE，AF = CF，∴$\widehat{AE} = \widehat{BE}$，$\widehat{AF} = \widehat{CF}$。∵AB = AC，∴$\widehat{AB} = \widehat{AC}$，∴$\widehat{AE} = \widehat{BE} = \frac{1}{2}\widehat{AB} = \frac{1}{2}\widehat{AC} = \widehat{AF} = \widehat{CF}$。∵∠BAC = 36°，∴∠BOC = 72°，∴$\widehat{AE} + \widehat{BE} + \widehat{AF} + \widehat{CF} = 360° - 72° = 288°$，∴$\widehat{AE} = \widehat{BE} = \widehat{AF} = \widehat{CF} = 288°÷4 = 72° = \widehat{BC}$，∴AE = BE = AF = CF = BC，∴五边形AEBCF为⊙O的内接正五边形。

答案： 证明：连结 $ OB $，$ OC $。
∵ $ OE $，$ OF $ 分别垂直平分 $ AB $，$ AC $，
∴ $ A E = B E $，$ A F = C F $，
∴ $ \widehat { A E } = \widehat { B E } $，$ \widehat { A F } = \widehat { C F } $。
∵ $ A B = A C $，
∴ $ \widehat { A B } = \widehat { A C } $，
∴ $ \widehat { A E } = \widehat { B E } = \frac { 1 } { 2 } \widehat { A B } = \frac { 1 } { 2 } \widehat { A C } = \widehat { A F } = \widehat { C F } $。
∵ $ \angle B A C = 36 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle B O C = 72 ^ { \circ } $，
∴ $ \widehat { A E } + \widehat { B E } + \widehat { A F } + \widehat { C F } = 360 ^ { \circ } - 72 ^ { \circ } = 288 ^ { \circ } $，
∴ $ \widehat { A E } = \widehat { B E } = \widehat { A F } = \widehat { C F } = 288 ^ { \circ } \div 4 = 72 ^ { \circ } = \widehat { B C } $，
∴ $ A E = B E = A F = C F = B C $，
∴五边形 $ AEBCF $ 为 $ \odot O $ 的内接正五边形。

14. 已知A，B，C，D是⊙O上的四个点。
(1)如图1，若∠ADC = ∠BCD = 90°，AD = CD，求证：AC⊥BD；
证明：$ \angle A D C = \angle B C D = 90 ^ { \circ } $，∴ $ AC $，$ BD $ 是 $ \odot O $ 的直径，∴ $ \angle D A B = \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，∴四边形 $ ABCD $ 是矩形。∵ $ A D = C D $，∴矩形 $ ABCD $ 是正方形，∴ $ A C \perp B D $；
(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为点P，AB = 2，DC = 4，求⊙O的半径。
解：作直径 $ DE $，连结 $ CE $，$ BE $。∵ $ DE $ 是 $ \odot O $ 的直径，∴ $ \angle D C E = \angle D B E = 90 ^ { \circ } $。∵ $ \angle A B D = \angle A C D $，$ \angle A B D + \angle B A C = 90 ^ { \circ } = \angle A C D + \angle A C E $，∴ $ \angle B A C = \angle A C E $，∴ $ \widehat { B C } = \widehat { A E } $，∴ $ \widehat { C E } = \widehat { A B } $，∴ $ C E = A B $。在 $ \mathrm { Rt } \triangle C D E $ 中，根据勾股定理，得 $ D E ^ { 2 } = C E ^ { 2 } + D C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + D C ^ { 2 } = 20 $，∴ $ D E = 2 \sqrt { 5 } $，∴ $ O D = \sqrt { 5 } $，即 $ \odot O $ 的半径为$ \sqrt{5} $。

答案：
(1) 证明：$ \angle A D C = \angle B C D = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ AC $，$ BD $ 是 $ \odot O $ 的直径，
∴ $ \angle D A B = \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，
∴四边形 $ ABCD $ 是矩形。
∵ $ A D = C D $，
∴矩形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ A C \perp B D $；
(2) 解：作直径 $ DE $，连结 $ CE $，$ BE $。
∵ $ DE $ 是 $ \odot O $ 的直径，
∴ $ \angle D C E = \angle D B E = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle A B D = \angle A C D $，$ \angle A B D + \angle B A C = 90 ^ { \circ } = \angle A C D + \angle A C E $，
∴ $ \angle B A C = \angle A C E $，
∴ $ \widehat { B C } = \widehat { A E } $，
∴ $ \widehat { C E } = \widehat { A B } $，
∴ $ C E = A B $。在 $ \mathrm { Rt } \triangle C D E $ 中，根据勾股定理，得 $ D E ^ { 2 } = C E ^ { 2 } + D C ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + D C ^ { 2 } = 20 $，
∴ $ D E = 2 \sqrt { 5 } $，
∴ $ O D = \sqrt { 5 } $，即 $ \odot O $ 的半径为 $ \sqrt { 5 } $。