《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

22. 阅读下面的材料，回答问题：
解方程 $ x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0 $，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 $ x^{2} = y $，则 $ x^{4} = y^{2} $，于是原方程可变为 $ y^{2} - 5y + 4 = 0 $ ①，解得 $ y_{1} = 1 $，$ y_{2} = 4 $。
当 $ y = 1 $ 时，$ x^{2} = 1 $，所以 $ x = \pm 1 $；
当 $ y = 4 $ 时，$ x^{2} = 4 $，所以 $ x = \pm 2 $，
∴原方程有四个根为 $ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = -1 $，$ x_{3} = 2 $，$ x_{4} = -2 $。
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；
（2）用上述方法解方程：$ (x^{2} + x)^{2} - 4(x^{2} + x) - 12 = 0 $。
解：设$x^{2}+x=y$，则原方程可变为$y^{2}-4y-12=0$，解得$y_{1}=6$，$y_{2}=-2$。
当$y=6$时，$x^{2}+x=6$，即$x^{2}+x-6=0$，解得$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$；
当$y=-2$时，$x^{2}+x=-2$，即$x^{2}+x+2=0$，$\Delta=1-8=-7<0$，此方程无实数根。
∴原方程的根为$x_{1}=-3$，$x_{2}=2$。

答案： 解：
(1) 换元 降次
(2) $ x_{1}=-3 $，$ x_{2}=2 $。

23. 随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加。据统计，某小区 2022 年底拥有家庭轿车 64 辆，2024 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆。
（1）若该小区 2022 年底到 2025 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2025 年底家庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位。据测算，建造费用分别为室内车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个。考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，问：该小区最多可建两种车位各多少个？

答案： 解：
(1) 设家庭轿车拥有量的年平均增长率为$ x $，则$ 64(1+x)^{2}=100 $，$ \therefore x_{1}=\frac{1}{4}=25 \% $，$ x_{2}=-\frac{9}{4} $（舍去），$ \therefore 100(1+25 \%)=125 $。故该小区到2025年底家庭轿车将达125辆；
(2) 设小区可建室内车位$ a $个，露天车位$ b $个，则$ \begin{cases}0.5 a+0.1 b=15, & ① \\ 2.5 a \geqslant b \geqslant 2 a. & ②\end{cases} $由①，得$ b=150-5 a $，代入②，得$ 20 \leqslant a \leqslant \frac{150}{7} $。$ \because a $为整数，$ \therefore a=20 $或21。当$ a=20 $时，$ b=50 $；当$ a=21 $时，$ b=45 $。故建室内车位20个，露天车位50个；或室内车位21个，露天车位45个。