《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

1. 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象的性质:
图象: 二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a\neq0) $ 的图象是一条抛物线.
对称轴: 直线$ x = -\frac{b}{2a} $.
顶点:$ (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) $.
开口方向: 当 $ a＞0 $ 时, 抛物线的开口向上;
当 $ a＜0 $ 时, 抛物线的开口向下.
最大(小)值: 当 $ a＞0 $ 时, 顶点是抛物线上的最低点, 函数有最小值$ \frac{4ac - b^2}{4a} $;
当 $ a＜0 $ 时, 顶点是抛物线上的最高点, 函数有最大值$ \frac{4ac - b^2}{4a} $.
2. 当对称轴在 $ y $ 轴右侧, $ a $ 与 $ b $ 的符号异号;
当对称轴在 $ y $ 轴左侧, $ a $ 与 $ b $ 的符号同号.
3. 抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标为$ (0, c) $.

答案： $ x = -\frac{b}{2a} $ $ (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}) $ 向上 向下 最低 $ \frac{4ac - b^2}{4a} $ 最高 $ \frac{4ac - b^2}{4a} $
@@异号 同号
@@$ (0, c) $

例 1 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1) $ y = 3x^{2}-9x + 2 $：开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{19}{4})$； (2) $ y = -\frac{1}{2}x^{2}-x - 6 $：开口向下，对称轴为直线$x = -1$，顶点坐标为$(-1,-\frac{11}{2})$.

答案： 【解析】：1. 对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），当$a\gt0$时，图象开口向上；当$a\lt0$时，图象开口向下。对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$。在$y = 3x^{2}-9x + 2$中，$a = 3\gt0$，所以开口向上，$-\frac{b}{2a}=-\frac{-9}{2\times3}=\frac{3}{2}$，$\frac{4ac - b^{2}}{4a}=\frac{4\times3\times2-(-9)^{2}}{4\times3}=\frac{24 - 81}{12}=-\frac{57}{12}=-\frac{19}{4}$，所以对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{19}{4})$。
2. 对于$y = -\frac{1}{2}x^{2}-x - 6$，通过配方法将其化为顶点式$y = -\frac{1}{2}(x^{2}+2x + 1)-6+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x + 1)^{2}-\frac{11}{2}$，因为$a = -\frac{1}{2}\lt0$，所以图象开口向下，根据顶点式可知对称轴为直线$x = -1$，顶点坐标为$(-1,-\frac{11}{2})$。
【答案】：1. 开口向上，对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$，顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{19}{4})$ 2. 开口向下，对称轴为直线$x = -1$，顶点坐标为$(-1,-\frac{11}{2})$

例 2 已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx $ 和直线 $ y = ax + b $ 在同一坐标系内的图象如图, 其中正确的是 (D)

答案： D