《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

8. 函数$y = x^{2}$，$y = \frac{1}{2}x^{2}$，$y = -2x^{2}$的图象如图所示。请指出三条抛物线对应的函数：$ y = x ^ { 2 } $ 是①，$ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 是②，$ y = - 2 x ^ { 2 } $ 是③.

答案： 解：$ y = x ^ { 2 } $ 是①，$ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 是②，$ y = - 2 x ^ { 2 } $ 是③.

9. 有一桥孔的形状是一条开口向下的抛物线$y = -\frac{1}{6}x^{2}$。
(1)画出这条抛物线；
(2)当水面高度距桥洞最高点$6m$时，求水面的宽度。

答案： 解：
(1) 图略；
(2) 12 m.

10. 当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量。某型号汽车的“撞击影响”$I$与速度$v$的部分对应值如下表。
| $v$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $\cdots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $I$ | $0$ | $2$ | $8$ | $18$ | $32$ | $50$ | $\cdots$ |
(1)试猜想$I$与$v$的函数关系；
(2)画出$I$关于$v$的函数的图象；
(3)当汽车的速度扩大为原来的$2$倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？

答案： 解：
(1) $ I = 2 v ^ { 2 } $；
(2) 图略；
(3) 4 倍.

11. 已知抛物线$y = ax^{2}$经过点$A(2,1)$。
(1)求这个函数的表达式；
(2)写出抛物线上点$A$关于$y$轴的对称点$B$的坐标；
(3)抛物线上是否存在点$C$，使$\triangle ABC$的面积等于$\triangle OAB$面积的一半，若存在，求出$C$点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 解：
(1) $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } $；
(2) $ ( - 2, 1 ) $；
(3) 点 C 的坐标为 $ ( \sqrt { 2 }, \frac { 1 } { 2 } ) $ 或 $ ( - \sqrt { 2 }, \frac { 1 } { 2 } ) $ 或 $ ( \sqrt { 6 }, \frac { 3 } { 2 } ) $ 或 $ ( - \sqrt { 6 }, \frac { 3 } { 2 } ) $.