《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

24. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”。例如，一元二次方程 $ x^{2} + x = 0 $ 的两个根是 $ x_{1} = 0 $，$ x_{2} = -1 $，则方程 $ x^{2} + x = 0 $ 是“邻根方程”。
（1）通过计算，判断下列方程是不是“邻根方程”。
① $ x^{2} - x - 6 = 0 $；不是
② $ 2x^{2} - 2\sqrt{3}x + 1 = 0 $；是
（2）已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - (m - 1)x - m = 0 $（$ m $ 是常数）是“邻根方程”，求 $ m $ 的值；0或-2
（3）若关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2} + bx + 1 = 0 $（$ a $，$ b $ 是常数，$ a ＞ 0 $）是“邻根方程”，令 $ t = 12a - b^{2} $，试求 $ t $ 的最大值。16

答案： 解：
(1) ① 解方程$ x^{2}-x-6=0 $，得$ (x-3)(x+2)=0 $，$ \therefore x=3 $或$ x=-2 $。$ \because 3 \neq-2+1 $，$ \therefore x^{2}-x-6=0 $不是“邻根方程”；② 解方程$ 2 x^{2}-2 \sqrt{3} x+1=0 $，得$ x=\frac{2 \sqrt{3} \pm \sqrt{12-8}}{4}=\frac{\sqrt{3} \pm 1}{2} $。$ \because \frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+1 $，$ \therefore 2 x^{2}-2 \sqrt{3} x+1=0 $是“邻根方程”；
(2) 解方程$ x^{2}-(m-1) x-m=0 $，得$ (x-m)(x+1)=0 $，$ \therefore x=m $或$ x=-1 $。$ \because $方程$ x^{2}-(m-1) x-m=0 $（$ m $是常数）是“邻根方程”，$ \therefore m=-1+1 $或$ m=-1-1 $，$ \therefore m=0 $或-2；
(3) 解方程$ a x^{2}+b x+1=0 $，得$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a}}{2 a} $。$ \because $关于$ x $的方程$ a x^{2}+b x+1=0 $（$ a $，$ b $是常数，$ a＞0 $）是“邻根方程”，$ \therefore \frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a}}{2 a}-\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a}}{2 a}=1 $，$ \therefore b^{2}=a^{2}+4 a $。$ \because t=12 a-b^{2} $，$ \therefore t=8 a-a^{2}=-(a-4)^{2}+16 $。$ \because a＞0 $，$ \therefore $当$ a=4 $时，$ t $的最大值为16。