《2025年暑假衔接起跑线八升九数学浙教版》

22. (10分)已知二次函数$y=x^{2}+2x$的图象经过$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$两个不同的点.
(1)当$x_{1}=3n+4,x_{2}=2n-1$,且$y_{1}=y_{2}$时,求n的值;-1
(2)当$x_{1}＞-1,x_{2}＞-1$时,求证:$(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})＞0$.证明：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$ x = - 1 $，$\therefore$当$ x ＞ - 1 $时，$ y $随$ x $增大而增大，$\therefore$当$ x _ { 1 } ＞ x _ { 2 } $时，$ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $，$\therefore ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ＞ 0 $；当$ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $时，$ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $，$\therefore ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ＞ 0 $.

答案： （1）解：由抛物线的对称性可得当$ y _ { 1 } = y _ { 2 } $时，$ A $，$ B $两点关于对称轴对称，$\therefore \frac { 3 n + 4 + 2 n - 1 } { 2 } = - 1 $，解得$ n = - 1 $；（2）证明：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$ x = - 1 $，$\therefore$当$ x ＞ - 1 $时，$ y $随$ x $增大而增大，$\therefore$当$ x _ { 1 } ＞ x _ { 2 } $时，$ y _ { 1 } ＞ y _ { 2 } $，$\therefore ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ＞ 0 $；当$ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $时，$ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $，$\therefore ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ＞ 0 $.

23. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A=Rt∠,∠C=30^{\circ },AB=1$,两个动点P,Q同时从A点出发,点P沿AC匀速运动,点Q沿$AB-BC$匀速运动,两点同时到达点C.
(1)点Q的速度是点P速度的多少倍?$\sqrt{3}$
(2)设$AP=x,\triangle APQ$的面积是y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;当$0 ＜ x \leq \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $时，$y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } x ^ { 2 }$；当$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \leq x \leq \sqrt { 3 } $时，$ y = - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } x $
(3)求出y的最大值.$\frac { 3 \sqrt { 3 } } { 16 }$

答案： 解：（1）$\because$在$ \triangle A B C $中，$ \angle A = 90 ^ { \circ } $，$ \angle C = 30 ^ { \circ } $，$ A B = 1 $，$\therefore B C = 2 $，$ A C = \sqrt { 3 } $，而两个动点$ P $，$ Q $同时从$ A $点出发，点$ P $沿$ A C $匀速运动，点$ Q $沿$ A B - B C $匀速运动，两点同时到达点$ C $，$\therefore$点$ Q $的速度是点$ P $的速度的$ ( 2 + 1 ) \div \sqrt { 3 } = \sqrt { 3 } $倍；（2）$\because$设$ A P = x $，$ \triangle A P Q $的面积是$ y $. ①当$ Q $在$ A B $上，即$ 0 ＜ x \leq \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $时，$ y = \frac { 1 } { 2 } x \cdot \sqrt { 3 } x = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } x ^ { 2 } $；②当$ Q $在$ B C $上，即$ \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \leq x \leq \sqrt { 3 } $时，$ y = \frac { 1 } { 2 } x \times \frac { 1 } { 2 } ( 3 - \sqrt { 3 } x ) $，即$ y = - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } x $；（3）对于$ y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } x ^ { 2 } \left( 0 ＜ x \leq \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \right) $，当$ x = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } $时，$ y _ { \text { 最大 } } = \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } $；对于$ y = - \frac { \sqrt { 3 } } { 4 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } x \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \leq x \leq \sqrt { 3 } \right) $，当$ x = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $时，$ y _ { \text { 最大 } } = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 16 } $. $\because \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 16 } ＞ \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } $，$\therefore$当$ x = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $时，$ y _ { \text { 最大 } } = \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 16 } $.

24. (12分)已知二次函数$y=-(x-k)^{2}+k$.
(1)若该函数图象与x轴的两个交点横坐标分别为0和2,求函数的表达式;
(2)若该函数与x轴有两个交点,求k的取值范围;
(3)若在$k≤x≤2k-3$范围内,该函数的最大值与最小值的差为4,求k的值.

答案： 解：（1）$\because$该函数图象与$ x $轴的两个交点横坐标分别为0和2，$\therefore$该函数图象的对称轴是直线$ x = 1 $. 又$\because y = - ( x - k ) ^ { 2 } + k $的对称轴是直线$ x = k $，$\therefore k = 1 $即函数的表达式是$ y = - ( x - 1 ) ^ { 2 } + 1 $；（2）$ y = - ( x - k ) ^ { 2 } + k = - x ^ { 2 } + 2 k x - k ^ { 2 } + k $. $\because$该函数与$ x $轴有两个交点，$\therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( 2 k ) ^ { 2 } - 4 \cdot ( - 1 ) \cdot ( k - k ^ { 2 } ) = 4 k ＞ 0 $. 即$ k ＞ 0 $；（3）$\because$在$ k \leq x \leq 2 k - 3 $范围内，$\therefore 2 k - 3 \geq k $，解得$ k \geq 3 $. $\because$函数图象开口向下且对称轴是直线$ x = k $，$\therefore$当$ x = k $时，$ y $有最大值，$ y _ { \text { 最大值 } } = k $；当$ x = 2 k - 3 $时，$ y $有最小值，$ y _ { \text { 最小值 } } = - k ^ { 2 } + 7 k - 9 $. $\because$该函数的最大值与最小值的差为4，$\therefore k - ( - k ^ { 2 } + 7 k - 9 ) = 4 $，即$ k ^ { 2 } - 6 k + 5 = 0 $，解得$ k _ { 1 } = 1 $（舍去），$ k _ { 2 } = 5 $，$\therefore k $的值是5.