《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

20. (8分)观察下列各式：
$ -1×\frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2} $,$ -\frac{1}{2}×\frac{1}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} $,$ -\frac{1}{3}×\frac{1}{4} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} $,…。
(1)猜想：$ -\frac{1}{n - 1}×\frac{1}{n} = $$-\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}$($ n $为大于1的整数)；
(2)用你发现的规律计算：
$ (-1×\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3}×\frac{1}{4}) + … + (-\frac{1}{2024}×\frac{1}{2025}) $。
原式$=(-1 + \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + \cdots + (-\frac{1}{2024} + \frac{1}{2025})$
$=-1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}$
$=-1 + \frac{1}{2025}$
$=-\frac{2024}{2025}$

答案：
(1)$-\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n}$
(2)原式$=(-1 + \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) + (-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + \cdots + (-\frac{1}{2024} + \frac{1}{2025})$
$=-1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{2024} + \frac{1}{2025}$
$=-1 + \frac{1}{2025}$
$=-\frac{2024}{2025}$

21. (10分)已知：$ b $是最小的正整数,且$ a $,$ b 满足 (c - 5)^{2} + |a + b| = 0 $,请回答下列问题。
(1)请直接写出$ a $,$ b $,$ c $的值。
$ a = $$-1$,$ b = $$1$,$ c = $$5$。
(2)$ a $,$ b $,$ c 所对应的点分别为 A $,$ B $,$ C $,点$ P $为一动点,其对应的数为$ x $,当点$ P $在0到2之间运动(即$ 0 \leq x \leq 2 $)时,请化简式子：$ |x + 1| - |x - 1| + 2|x + 5| $。(请写出化简过程)
当$0 ≤ x ≤ 1$时，$x + 1 ＞ 0$，$x - 1 ≤ 0$，$x + 5 ＞ 0$
$\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert + 2\vert x + 5\vert = x + 1 - (1 - x) + 2(x + 5)$
$= x + 1 - 1 + x + 2x + 10$
$= 4x + 10$
当$1 ＜ x ≤ 2$时，$x + 1 ＞ 0$，$x - 1 ＞ 0$，$x + 5 ＞ 0$
$\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert + 2\vert x + 5\vert = x + 1 - (x - 1) + 2(x + 5)$
$= x + 1 - x + 1 + 2x + 10$
$= 2x + 12$
(3)在(1)(2)的条件下,点$ A $,$ B $,$ C $开始在数轴上运动,若点$ A $以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点$ B 和点 C $分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动,假设$ t $秒过后,若点$ B 与点 C 之间的距离表示为 BC $,点$ A 与点 B 之间的距离表示为 AB $。请问：$ BC - AB 的值是否随着时间 t $的变化而变化？若变化,请说明理由；若不变,请求其值。
不变
$t$秒时，点$A$对应的数为$-1 - t$，点$B$对应的数为$1 + 2t$，点$C$对应的数为$5 + 5t$
$BC = (5 + 5t) - (1 + 2t) = 3t + 4$
$AB = (1 + 2t) - (-1 - t) = 3t + 2$
$BC - AB = (3t + 4) - (3t + 2) = 2$
即$BC - AB$的值不随时间$t$变化。

答案：
(1)$-1$，$1$，$5$
(2)当$0 ≤ x ≤ 1$时，$x + 1 ＞ 0$，$x - 1 ≤ 0$，$x + 5 ＞ 0$
$\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert + 2\vert x + 5\vert = x + 1 - (1 - x) + 2(x + 5)$
$= x + 1 - 1 + x + 2x + 10$
$= 4x + 10$
当$1 ＜ x ≤ 2$时，$x + 1 ＞ 0$，$x - 1 ＞ 0$，$x + 5 ＞ 0$
$\vert x + 1\vert - \vert x - 1\vert + 2\vert x + 5\vert = x + 1 - (x - 1) + 2(x + 5)$
$= x + 1 - x + 1 + 2x + 10$
$= 2x + 12$
(3)不变
$t$秒时，点$A$对应的数为$-1 - t$，点$B$对应的数为$1 + 2t$，点$C$对应的数为$5 + 5t$
$BC = (5 + 5t) - (1 + 2t) = 3t + 4$
$AB = (1 + 2t) - (-1 - t) = 3t + 2$
$BC - AB = (3t + 4) - (3t + 2) = 2$
即$BC - AB$的值不随时间$t$变化。