《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

20. (8分)为支援灾区学生,某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金购买$ A $,$ B $两种型号的学习用品共1000件,已知$ A $型学习用品的单价为20元,$ B $型学习用品的单价为30元.
(1)若购买这批学习用品花了26000元,则购买$ A $,$ B $两种型号的学习用品各多少件?
(2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元,则最多购买$ B $型学习用品多少件?

答案：
(1) 设购买 $ A $ 型学习用品 $ x $ 件，$ B $ 型学习用品 $ y $ 件，由题意，得
$\begin{cases} x + y = 1000, \\ 20x + 30y = 26000 \end{cases}$
解得
$\begin{cases} x = 400, \\ y = 600 \end{cases}$
即购买 $ A $ 型学习用品 400 件，$ B $ 型学习用品 600 件。
(2) 设最多购买 $ B $ 型学习用品 $ a $ 件，则购买 $ A $ 型学习用品 $ (1000 - a) $ 件，由题意，得
$20(1000 - a) + 30a \leq 28000$
解得
$a \leq 800$
即最多购买 $ B $ 型学习用品 800 件。

21. (10分)已知长方形$ ABCD $中,边$ AB 的长度为 a $,边$ AD 的长度为 b $,$ a ＞ 2 b $.将长方形$ ABCD 绕着点 A $旋转,点$ B $,$ C $,$ D 的对应点分别记为点 B ^ { \prime } $,$ C ^ { \prime } $,$ D ^ { \prime } $,旋转角记为$ \alpha $.

(1)当旋转方向为顺时针且$ \alpha = 90 ^ { \circ } $时(如图①),连接$ CB ^ { \prime } $,$ B ^ { \prime } D ^ { \prime } $,$ D ^ { \prime } C $,用含$ a $,$ b 的代数式表示三角形 CB ^ { \prime } D ^ { \prime } $的面积;(结果需化简)
(2)当$ 0 ^ { \circ } ＜ \alpha ＜ 90 ^ { \circ } $时,如果$ \angle BAB ^ { \prime } 与 \angle BAD ^ { \prime } 的度数之比为 2 : 7 $,请直接写出旋转方向和$ \alpha $的度数;
(3)当$ 0 ^ { \circ } ＜ \alpha ＜ 90 ^ { \circ } $时,旋转过程中,当长方形$ AB ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime } 与原长方形 ABCD $重叠部分的图形是轴对称图形时,请直接写出旋转方向和$ \alpha $的度数.

答案：

(1) 如图①所示，延长 $BC, C'B'$ 交于点 $M$，则矩形 $BD'C'M$ 的长为 $a + b$，宽为 $a$，$\therefore S_{△CB'D'} = S_{矩形BD'C'M} - S_{△BCD'} - S_{△D'C'B'} - S_{△CMB'} = a(a + b) - \frac{1}{2}b(a + b) - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a(a - b) = a^2 + ab - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b^2$。
(2) 顺时针方向，$\alpha = 36°$ 或逆时针方向，$\alpha = 20°$ 提示：如图②所示，如果顺时针旋转，则有 $\angle BAB' = \angle DAD' = \alpha$，$\angle BAD' = \angle BAD + \angle DAD' = 90° + \alpha$。$\because \angle BAB'$ 与 $\angle BAD'$ 的度数之比为 $2 : 7$，$\therefore \frac{\alpha}{90° + \alpha} = \frac{2}{7}$，解得 $\alpha = 36°$。如图③所示，如果逆时针旋转，则有 $\angle BAB' = \angle DAD' = \alpha$，$\angle BAD' = \angle BAD - \angle DAD' = 90° - \alpha$。$\because \angle BAB'$ 与 $\angle BAD'$ 的度数之比為 $2 : 7$，$\therefore \frac{\alpha}{90° - \alpha} = \frac{2}{7}$，解得 $\alpha = 20°$。综上所述，顺时针方向，$\alpha = 36°$ 或逆时针方向，$\alpha = 20°$。
(3) 顺时针方向，$\alpha = 45°$ 或逆时针方向，$\alpha = 45°$ 提示：如图④所示，重叠部分是 $\triangle ADE$，$\because \angle D = 90°$，若 $\triangle ADE$ 是轴对称图形，则有 $\triangle ADE$ 是等腰直角三角形，$\therefore \angle EAD = \angle AED = 45°$，$\therefore \angle BAE = \angle BAD - \angle EAD = 90° - 45° = 45°$，$\therefore$ 当顺时针方向旋转 $45°$ 时，$\triangle ADE$ 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，$\therefore$ 长方形 $AB'C'D'$ 与原长方形 $ABCD$ 重叠部分的图形是轴对称图形；如图⑤所示，重叠部分是 $\triangle AD'E$，$\because \angle D' = 90°$，若 $\triangle AD'E$ 是轴对称图形，则有 $\triangle AD'E$ 是等腰直角三角形，$\therefore \angle EAD' = \angle AED' = 45°$，$\therefore \angle BAB' = \angle B'AD' - \angle EAD' = 90° - 45° = 45°$，$\therefore$ 当逆时针方向旋转 $45°$ 时，$\triangle AD'E$ 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是轴对称图形，$\therefore$ 长方形 $AB'C'D'$ 与原长方形 $ABCD$ 重叠部分的图形是轴对称图形。综上所述，当顺时针方向，$\alpha = 45°$ 或逆时针方向，$\alpha = 45°$ 时，长方形 $AB'C'D'$ 与原长方形 $ABCD$ 重叠部分的图形是轴对称图形。