《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

21. 已知在△ABC 中,∠A = x。
(1)如图①,若∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 O,用 x 表示∠BOC 的度数；
(2)如图②,若∠ABC 和∠ACB 对应的三等分线分别相交于点 O_1,O_2,用 x 表示∠BO_1C 的度数；
(3)如图③,若∠ABC 和∠ACB 对应的 n 等分线分别相交于点 O_1,O_2,…,$O_{n - 1},$用 x 表示∠BO_1C 的度数。

答案：
(1)解：在△ABC中，∠A=x，
∴∠ABC+∠ACB=180°-x，
∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-x)=90°-$\frac{1}{2}$x，
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-$\frac{1}{2}$x)=90°+$\frac{1}{2}$x。
(2)解：在△ABC中，∠A=x，
∴∠ABC+∠ACB=180°-x，
∵BO₁、CO₁是∠ABC、∠ACB的三等分线且靠近AB、AC，
∴∠O₁BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{2}{3}$∠ACB，
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{2}{3}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{2}{3}$(180°-x)=120°-$\frac{2}{3}$x，
∴∠BO₁C=180°-(∠O₁BC+∠O₁CB)=180°-(120°-$\frac{2}{3}$x)=60°+$\frac{2}{3}$x。
(3)解：在△ABC中，∠A=x，
∴∠ABC+∠ACB=180°-x，
∵BO₁、CO₁是∠ABC、∠ACB的n等分线且靠近AB、AC，
∴∠O₁BC=$\frac{n-1}{n}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{n-1}{n}$∠ACB，
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{n-1}{n}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{n-1}{n}$(180°-x)=$\frac{180°(n-1)}{n}$-$\frac{n-1}{n}$x，
∴∠BO₁C=180°-(∠O₁BC+∠O₁CB)=180°-[$\frac{180°(n-1)}{n}$-$\frac{n-1}{n}$x]=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$x。

22. 如图,直线 AC // BD,连接 AB,直线 AC,BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分,规定：线上各点不属于任何部分。当动点 P 落在某个部分时,连接 PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD 三个角。(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是 0°)
(1)当动点 P 落在第①部分时,有∠APB = ∠PAC + ∠PBD,请说明理由。
(2)当动点 P 落在第②部分时,∠APB = ∠PAC + ∠PBD 是否成立？若不成立,试写出∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的等量关系(无需说明理由)。
(3)当动点 P 落在第③部分时,探究∠PAC,∠APB,∠PBD 之间的关系,写出你发现的一个结论并加以说明。

答案：
(1)解：延长AP交BD于点E。
∵AC//BD，
∴∠PAC=∠AEB。
∵∠APB=∠AEB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD。
(2)不成立，∠APB=360°−∠PAC−∠PBD。
(3)∠APB=|∠PAC−∠PBD|。
当动点P落在BA右侧时，连接BP交直线AC于点M。
∵AC//BD，
∴∠PMC=∠PBD。
∵∠PMC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB，即∠APB=∠PBD−∠PAC。