《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

19. 某种产品的形状是长方体,长为 8 cm,它的展开图如图：
(1)求长方体的体积；
(2)请为厂家设计一种包装纸箱,使每箱能装 10 件这种产品,要求没有空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱的表面积尽可能小)。

答案：
(1)设长方体的高为$x$cm，则长方体的宽为$(12 - 2x)$cm。根据展开图可知，$12 - 2x + 8 + x + 8 = 25$，解得$x = 3$。所以长方体的高为$3$cm，宽为$12 - 2×3 = 6$cm，长为$8$cm。长方体的体积为$8×6×3 = 144$ $cm³$。
(2)该产品的三个不同面的面积分别为：$8×6 = 48$ $cm²$，$8×3 = 24$ $cm²$，$6×3 = 18$ $cm²$。一件产品的表面积为$(48 + 24 + 18)×2 = 180$ $cm²$。10件产品的表面积之和为$180×10 = 1800$ $cm²$。要使纸箱表面积最小，需使重叠的面积最大。将面积最大的面（$48$ $cm²$）重叠$4×2×2$次，面积次大的面（$24$ $cm²$）重叠$5×2$次，所以纸箱最小表面积为$1800 - 48×4×2×2 - 24×5×2 = 792$ $cm²$。

20. 如图为一副三角板,若固定三角板 COD,将三角板 AOB 绕着公共顶点 O 顺时针旋转 α 度(0° ＜ α ＜ 180°)。
(1)当三角板 COD 的边 OC 平分∠AOB 时,比较∠COB 与∠C 的大小,并写出理由；
(2)当三角板 COD 的一边与三角板 AOB 的某一边平行时,相应的 α 的值为多少？

答案：
由题意可得∠A = 60°,∠B = 30°,∠C = ∠D = 45°,∠AOB = ∠COD = 90°.　
(1)给出的条件是OC平分∠AOB,如图，易得∠COB = ∠C = 45°.　　　　　　　　　 　
(2)当AO//CD时,α = 45°;　当OD//AB时,α = 60°;　当AB//CD时,α = 105°;　当OB//CD时,α = 135°;　当OC//AB时,α = 150°.