《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

19. 甲、乙两人共同解方程组$\begin{cases}ax + 5y = 15, &①\\4x - by = -2, &②\end{cases} $甲看错了方程①中的$a$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = -3,\\y = -1.\end{cases} $乙看错了方程②中的$b$,得到方程组的解为$\begin{cases}x = 5,\\y = 4.\end{cases} 试计算a^{2048} + (-\frac{1}{10}b)^{2049}$的值.

答案： 解：将甲的解$\begin{cases}x=-3\\y=-1\end{cases}$代入②得：$4×(-3)-b×(-1)=-2$，即$-12 + b = -2$，解得$b = 10$。
将乙的解$\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}$代入①得：$a×5 + 5×4 = 15$，即$5a + 20 = 15$，解得$a = -1$。
则$a^{2048} + (-\frac{1}{10}b)^{2049}=(-1)^{2048}+(-\frac{1}{10}×10)^{2049}=1 + (-1)^{2049}=1 - 1 = 0$。
答：$0$。

20. 某中学组织七年级师生开展研学活动,需租车前往.现有甲、乙两种客车可供选择,它们的载客量和租金如表格所示,校方根据信息初步制定以下两种方案：
方案一：单独租用甲型客车若干辆,刚好坐满；
方案二：单独租用乙型客车可以少租$2$辆,但会有$30$个座位空余.
| | 甲型客车 | 乙型客车 |
| 载客量(人/辆) | $35$ | $45$ |
| 租金(元/辆) | $1100$ | $1300$ |
(1)参加此次研学活动的师生共多少人？
(2)以上两种方案,哪一种更划算？
(3)若可以同时租用两种客车,刚好师生都有座位,且没有空座,是否存在一种更划算的方案？若存在,请写出你的方案.

答案：
(1)设单独租用甲型客车时租用$x$辆，由题意得：$35x = 45(x - 2)-30$，解得$x = 12$，$35×12 = 420$（人），答：参加此次研学活动的师生共$420$人。
(2)方案一费用：$12×1100 = 13200$（元），方案二费用：$(12 - 2)×1300=10×1300 = 13000$（元），因为$13000＜13200$，所以方案二更划算。
(3)存在，设租$a$辆甲型客车，$b$辆乙型客车，由题意得：$35a + 45b=420$，化简得$7a + 9b = 84$，正整数解为$\begin{cases}a = 3\\b = 7\end{cases}$，费用：$3×1100 + 7×1300=3300 + 9100 = 12400$（元），因为$12400＜13000$，所以租$3$辆甲型客车，$7$辆乙型客车更划算。

21. 某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁$5$年,$5年期满后由开发商以比原商铺标价高20\%$的价格进行回购,投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可以获得的租金为商铺标价的$10\%$.
方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,$2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10\%$,但要缴纳租金的$10\%$作为管理费用.
(1)请问：投资者选择哪种购铺方案,$5$年后所获得的投资收益率更高？为什么？
(注：投资收益率$=\frac{投资收益}{实际投资额}× 100\%$)
(2)对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么$5年后两人获得的收益将相差5$万元.问：甲、乙两人各投资了多少万元？

答案：
(1)设商铺标价为$x$万元。
方案一：
投资收益为$(120\% - 1)x + x×10\%×5 = 0.2x + 0.5x = 0.7x$
投资收益率为$\frac{0.7x}{x}×100\% = 70\%$
方案二：
投资收益为$(120\% - 85\%)x + x×10\%×(1 - 10\%)×3 = 0.35x + 0.27x = 0.62x$
投资收益率为$\frac{0.62x}{0.85x}×100\%≈72.9\%$
因为$72.9\% ＞ 70\%$，所以投资者选择方案二所获得的投资收益率更高。
(2)由题意得$0.7x - 0.62x = 5$
解得$x = 62.5$
乙的投资额为$0.85x = 0.85×62.5 = 53.125$（万元）
答：
(1)选择方案二投资收益率更高；
(2)甲投资了$62.5$万元，乙投资了$53.125$万元。