《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

8. 如图,沿着边长为10m的正方形,按$A→B→C→D→A→…$的方向,甲从$A$点以65m/min的速度行走,乙从$B$点以72m/min的速度行走,当乙第一次追上甲时,两人在正方形的 (B)
A.$AB$边上
B.$AD$边上
C.$BC$边上
D.$CD$边上

答案： 解：设乙第一次追上甲用时$t$分钟。
正方形边长为10m，乙在甲前方$3 × 10 = 30m$（$A→B→C→D$方向，乙从B出发，甲从A出发，初始距离为AB+BC+CD=30m）。
乙速度72m/min，甲速度65m/min，根据追及公式：
$72t - 65t = 30$
$7t = 30$
$t = \frac{30}{7}$分钟。
此时甲行走路程：$65 × \frac{30}{7} = \frac{1950}{7} \approx 278.57m$。
正方形周长：$4 × 10 = 40m$。
甲行走圈数及剩余路程：$278.57 ÷ 40 = 6$圈余$38.57m$。
从A点出发，6圈后回到A点，再走38.57m：
$AB=10m$，$BC=10m$，$CD=10m$，$DA=10m$。
$38.57 - 10(AB) - 10(BC) - 10(CD) = 8.57m$，即沿DA边走8.57m。
两人在AD边上。
答案：B

9. 找规律填上合适的数：-2,4,-8,16,-32,64,….

答案： 观察数列：-2，4，-8，16，…
4 = -2 × (-2)
-8 = 4 × (-2)
16 = -8 × (-2)
规律为后一个数是前一个数乘以-2。
16 × (-2) = -32
答案：-32

10. 在同一平面上,1条直线把一个平面分成$\frac{1^{2}+1+2}{2}= 2$(个)部分,2条直线把一个平面最多分成$\frac{2^{2}+2+2}{2}= 4$(个)部分,3条直线把一个平面最多分成$\frac{3^{2}+3+2}{2}= 7$(个)部分,那么8条直线把一个平面最多分成37个部分.

答案： 解：由题意可知，n条直线把一个平面最多分成的部分数公式为$\frac{n^{2}+n+2}{2}$。
当$n = 8$时，$\frac{8^{2}+8+2}{2}=\frac{64 + 8 + 2}{2}=\frac{74}{2}=37$
37

11. 如图,填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,$n$的值是____.

63

答案： 观察每个方框：
- 第一个方框：上方1，左下2，右下3。规律：$1×2 + 1 = 3$
- 第二个方框：上方3，左下4，右下15。规律：$3×4 + 3 = 15$
- 第三个方框：上方5，左下6，右下35。规律：$5×6 + 5 = 35$
总结规律：右下数字 = 上方数字×左下数字 + 上方数字 = 上方数字×(左下数字 + 1)
第四个方框：上方m，左下8。由前三个方框上方数字1，3，5可知，m=7。
则$n = 7×(8 + 1) = 7×9 = 63$
63

12. 若$A_{3}^{2}= 3×2= 6$,$A_{5}^{3}= 5×4×3= 60$,$A_{5}^{4}= 5×4×3×2= 120$,$A_{6}^{4}= 6×5×4×3= 360$,…,观察前面的计算过程,找出计算规律计算$A_{7}^{3}= $210(直接写出计算结果),并比较：$A_{10}^{3}$＜$A_{10}^{4}$(填“＞”“＜”或“=”).

答案： $A_{7}^{3}=7×6×5=210$
$A_{10}^{3}=10×9×8=720$，$A_{10}^{4}=10×9×8×7=5040$，因为$720\lt5040$，所以$A_{10}^{3}\lt A_{10}^{4}$
210 ＜

13. 如图,物体从点$A$出发,按照$A→B$(第1步)$→C$(第2步)$→D→A→E→F→G→A→B→…$的顺序循环运动,则第2025步到达点B处.

答案： 解：观察运动顺序：A→B（1）→C（2）→D（3）→A（4）→E（5）→F（6）→G（7）→A（8）→B（9）→…，发现从A开始，每8步循环一次（A→B→C→D→A→E→F→G→A）。
计算2025除以8的余数：2025÷8=253……1，余数为1。
循环中第1步到达B，故第2025步到达点B。
答案：B

14. 用棱长为1的小正方体按照如图所示的摆放规律,逐个排成若干个无缝隙的几何体,图①几何体的表面积为6,图②几何体的表面积为18.则图③几何体的表面积为36；则图⑥几何体的表面积为126.

答案： 解：
图①：1个小正方体，表面积为 $6 × 1 = 6$；
图②：4个小正方体，表面积为 $6 × 3 = 18$；
图③：9个小正方体，表面积为 $6 × 6 = 36$；
观察规律：图$n$小正方体个数为$n^2$，表面积为$6 × \frac{n(n+1)}{2} = 3n(n+1)$；
图⑥：表面积为$3 × 6 × 7 = 126$。
36；126

15. 如图,一质点$P$从距原点1米的$A$点处向原点方向跳动,第一次跳动到$OA的中点A_{1}$处,第二次从$A_{1}点跳动到OA_{1}的中点A_{2}$处,第三次从$A_{2}点跳动到OA_{2}的中点A_{3}$处,如此不断地跳动下去,则至少第____次跳动后,该质点到原点$O$的距离小于1毫米.

10

答案： 解：1米=1000毫米。
第一次跳动后，质点到原点的距离为：$\frac{1000}{2} = 500$毫米；
第二次跳动后，距离为：$\frac{500}{2} = 250$毫米；
第三次跳动后，距离为：$\frac{250}{2} = 125$毫米；
第四次跳动后，距离为：$\frac{125}{2} = 62.5$毫米；
第五次跳动后，距离为：$\frac{62.5}{2} = 31.25$毫米；
第六次跳动后，距离为：$\frac{31.25}{2} = 15.625$毫米；
第七次跳动后，距离为：$\frac{15.625}{2} = 7.8125$毫米；
第八次跳动后，距离为：$\frac{7.8125}{2} = 3.90625$毫米；
第九次跳动后，距离为：$\frac{3.90625}{2} = 1.953125$毫米；
第十次跳动后，距离为：$\frac{1.953125}{2} = 0.9765625$毫米。
因为$0.9765625 ＜ 1$，所以至少第10次跳动后，质点到原点的距离小于1毫米。
10

16. 观察下列等式：
第1层 $1 + 2 = 3$
第2层 $4 + 5 + 6 = 7 + 8$
第3层 $9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15$
第4层 $16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24$
……
在上述数字宝塔中,从上往下数,2025在第45层.

答案： 观察等式可知，第$n$层的第一个数为$n^2$。
因为$45^2 = 2025$，所以2025是第45层的第一个数。
故2025在第45层。
答案：45