《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

19. (8分)如图,用三种方法分割五边形.
(1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系? 若有关系,具体是什么关系?
(2)若是n边形,请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数.

答案：
(1)有关系，关系如下:
　如图①，三角形的个数=多边形的边数−2；
　如图②，三角形的个数=多边形的边数；
　如图③，三角形的个数=多边形的边数−1。
(2)结合特殊图形，可以发现:
　按图①方法，三角形的个数=n−2；
　按图②方法，三角形的个数=n；
　按图③方法，三角形的个数=n−1。

20. (12分)如图①,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使$∠BOC= 112^{\circ }$.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②,使一边OM在$∠BOC$的内部,且恰好平分$∠BOC$,问:直线ON是否平分$∠AOC$? 请说明理由.
(2)将图①中的三角板绕点O按每秒$4^{\circ }$的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角$∠AOC$,则t的值为多少?
(3)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③,使ON在$∠AOC$的内部,请探究$∠AOM与∠NOC$之间的数量关系,并说明理由.

答案：

(1)平分，理由如下:
　延长NO到D。
∵∠MON=90°，
∴∠MOD=90°，
∴∠MOB+∠NOB=90°，∠MOC+∠COD=90°。
∵∠MOB=∠MOC，
∴∠NOB=∠COD。
∵∠NOB=∠AOD，
∴∠COD=∠AOD，
∴直线ON平分∠AOC。
(2)分两种情况:
　①如图①，
∵∠BOC=112°，
∴∠AOC=68°。
　当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD=34°，
∴∠BON=34°，
∴∠BOM=56°，
　即逆时针旋转的角度为56°，
　由题意，得4t=56，解得t=14。
　②如图②，当NO平分∠AOC时，∠NOA=34°，
∴∠AOM=56°，即逆时针旋转的角度为180°+56°=236°，
　由题意，得4t=236，解得t=59。
　综上所述，当t=14s或59s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC。

(3)∠AOM−∠NOC=22°，理由如下:
∵∠AOM=90°−∠AON，∠NOC=68°−∠AON，
∴∠AOM−∠NOC=(90°−∠AON)−(68°−∠AON)=22°。