《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

20. 根据题意,寻找规律。
有 $ n $ 个数,第一个记为 $ a_{1} $,第二个记为 $ a_{2},… $,第 $ n $ 个记为 $ a_{n} $,若 $ a_{1} = \frac{1}{2} $,且从第二个数起,每个数都等于“1 与它前面那个数的差的倒数”。
(1)求 $ a_{2},a_{3},a_{4} $ 的值；
(2)根据(1)的计算结果,请你猜想并写出 $ a_{2024},a_{2025} $ 的值；
(3)计算：$ a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} …\cdot \cdot a_{2024} \cdot a_{2025} \cdot a_{2026} $。

答案：
(1) $ a_2 = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $，$ a_3 = \frac{1}{1 - 2} = -1 $，$ a_4 = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $。
(2) $ 2024 ÷ 3 = 674 \cdots \cdots 2 $，$ a_{2024} = a_2 = 2 $，$ a_{2025} = a_3 = -1 $。
(3) 原式 $ = \frac{1}{2} × 2 × (-1) × \frac{1}{2} × 2 × (-1) × \cdots × 2 × (-1) × \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} $。

21. 如图,半径为 1 个单位的圆片上有一点 $ A $ 与数轴上的原点重合,$ AB $ 是圆片的直径。

(1)把圆片沿数轴向左滚动半周,点 $ B $ 到达数轴上点 $ C $ 的位置,点 $ C $ 表示的数是无理数(填“无理”或“有理”),这个数是$ -\pi $。
(2)把圆片沿数轴滚动 2 周,点 $ A $ 到达数轴上点 $ D $ 的位置,点 $ D $ 表示的数是$ 4\pi $ 或 $ -4\pi $。
(3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数,圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数,运动情况依次记录如下：$ +2,-1,+3,-4,-3 $。
① 第几次滚动后,$ A $ 点距离原点最近？第几次滚动后,$ A $ 点距离原点最远？
② 当圆片结束运动时,$ A $ 点运动的路程共有多少？此时点 $ A $ 所表示的数是多少？
① 第 4 次滚动后，A 点距离原点最近；第 3 次滚动后，A 点距离原点最远。
② $ \because | + 2 | + | - 1 | + | + 3 | + | - 4 | + | - 3 | = 13 $，
$ \therefore 13 × 2\pi × 1 = 26\pi $，$ \therefore $ A 点运动的路程共有 $ 26\pi $。
$ \because (+2) + (-1) + (+3) + (-4) + (-3) = -3 $，$ (-3) × 2\pi × 1 = -6\pi $，
$ \therefore $ 此时点 A 所表示的数是 $ -6\pi $。

答案：
(1) 无理 $ -\pi $
(2) $ 4\pi $ 或 $ -4\pi $
(3) ① 第 4 次滚动后，A 点距离原点最近；第 3 次滚动后，A 点距离原点最远。
② $ \because | + 2 | + | - 1 | + | + 3 | + | - 4 | + | - 3 | = 13 $，
$ \therefore 13 × 2\pi × 1 = 26\pi $，$ \therefore $ A 点运动的路程共有 $ 26\pi $。
$ \because (+2) + (-1) + (+3) + (-4) + (-3) = -3 $，$ (-3) × 2\pi × 1 = -6\pi $，
$ \therefore $ 此时点 A 所表示的数是 $ -6\pi $。