《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

18. (6分)甲、乙两位同学在解方程组$\left\{\begin{array}{l} ax+by= 7,\\ 2ax-by= -2\end{array} \right. $时,甲看错了第一个方程,解得$\left\{\begin{array}{l} x= 1,\\ y= -1,\end{array} \right. $乙看错了第二个方程,解得$\left\{\begin{array}{l} x= -2,\\ y= -6,\end{array} \right. 求a$,$b$的值.

答案： 解：由题意，甲看错第一个方程，其解满足第二个方程，可得：$2a×1 - b×(-1) = -2$，即$2a + b = -2$；
乙看错第二个方程，其解满足第一个方程，可得：$a×(-2) + b×(-6) = 7$，即$-2a - 6b = 7$；
联立方程组$\begin{cases}2a + b = -2\\-2a - 6b = 7\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\b = -1\end{cases}$。

19. (8分)为了进一步加强素质教育和爱国主义教育,丰富校园文化生活,陶冶学生高尚情操,某校组织开展了“一二九歌咏”比赛.甲、乙两班共有学生102人(其中甲班人数多于乙班人数,且甲班人数不够100人)报名统一购买服装参加演出.下表是某服装厂给出的演出服装的价格表,如果两班分别单独购买服装,总共要付款6580元.
|购买服装的套数|1~50|51~100|≥101|
|每套服装的价格/元|70|60|50|
(1)如果甲、乙两班联合起来购买服装,那么比各自购买服装总共可节省多少钱？
(2)甲、乙两班各有多少人报名参加演出？

答案： （1）$6580 - 102×50 = 1480$（元）
（2）设甲班人数为$x$，乙班人数为$y$。
$\begin{cases}x + y = 102\\60x + 70y = 6580\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 56\\y = 46\end{cases}$
答：（1）可节省1480元；（2）甲班56人，乙班46人。

20. (10分)【阅读材料】小颖同学遇到下列问题：
解方程组$\left\{\begin{array}{l} 5x+2y= 12, &①\\ 2x+5y= 9, &②\end{array} \right. $
她发现如果用代入消元法,会出现分数运算；如果用加减消元法,系数会变大,这两种方法,在运算中都容易出错.她再仔细观察,发现如果将两个方程相加时两个未知数的系数相等,将两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数.她试着给出了以下解题过程：
解：①+②,得$7x+7y= 21$,化简得$x+y= 3$, ③
①-②,得$3x-3y= 3$,化简得$x-y= 1$, ④
③+④,得$2x= 4$,解得$x= 2$,
③-④,得$2y= 2$,解得$y= 1$.
所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x= 2,\\ y= 1.\end{array} \right. $
如果一个方程组中,两个方程相加时两个未知数的系数相等,两个方程相减时两个未知数的系数互为相反数；或者两个方程相加时两个未知数的系数互为相反数,两个方程相减时两个未知数的系数相等,那么我们称这样的二元一次方程组为“系数友好方程组”,称小颖的解法为“循环加减法”.
【解决问题】
(1)方程组$\left\{\begin{array}{l} 7x-5y= 29,\\ 5x-7y= 19\end{array} \right. $______(填“是”或“不是”)“系数友好方程组”；
(2)如果(1)中的方程组是“系数友好方程组”,请用“循环加减法”解该方程组；如果不是,请选择适当的方法解该方程组.

答案：
(1)是
(2)解：$\left\{\begin{array}{l} 7x - 5y = 29, &①\\ 5x - 7y = 19, &②\end{array}\right.$
①+②，得$12x - 12y = 48$，化简得$x - y = 4$，③
①-②，得$2x + 2y = 10$，化简得$x + y = 5$，④
③+④，得$2x = 9$，解得$x = 4.5$
③-④，得$-2y = -1$，解得$y = 0.5$
所以原方程组的解为$\left\{\begin{array}{l} x = 4.5\\ y = 0.5\end{array}\right.$