《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

19. (8分)先阅读理解下面的例题,再按要求解答。
例题：解一元二次不等式$x^{2} - 9 ＞ 0$。
解：$\because x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$,
$\therefore (x + 3)(x - 3) ＞ 0$。
由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,有(1)$\begin{cases}x + 3 ＞ 0,\\x - 3 ＞ 0\end{cases} $或(2)$\begin{cases}x + 3 ＜ 0,\\x - 3 ＜ 0,\end{cases} $
解不等式组(1),得$x ＞ 3$,
解不等式组(2),得$x ＜ - 3$,
故$(x + 3)(x - 3) ＞ 0的解集为x ＞ 3或x ＜ - 3$,
即一元二次不等式$x^{2} - 9 ＞ 0的解集为x ＞ 3或x ＜ - 3$。
问题：求分式不等式$\frac{5x + 1}{2x - 3} ＜ 0$的解集。

答案： 解：由分式不等式的性质“两数相除，异号得负”，有
(1)$\begin{cases}5x + 1 ＜ 0, \\ 2x - 3 ＞ 0\end{cases}$或
(2)$\begin{cases}5x + 1 ＞ 0, \\ 2x - 3 ＜ 0\end{cases}$
解不等式组
(1)：
解$5x + 1 ＜ 0$，得$x ＜ -\frac{1}{5}$；
解$2x - 3 ＞ 0$，得$x ＞ \frac{3}{2}$。
此不等式组无解。
解不等式组
(2)：
解$5x + 1 ＞ 0$，得$x ＞ -\frac{1}{5}$；
解$2x - 3 ＜ 0$，得$x ＜ \frac{3}{2}$。
所以不等式组
(2)的解集为$-\frac{1}{5} ＜ x ＜ \frac{3}{2}$。
$\therefore$不等式$\frac{5x + 1}{2x - 3} ＜ 0$的解集为$-\frac{1}{5} ＜ x ＜ \frac{3}{2}$。

20. (12分)某市准备将一批帐篷和食品送往扶贫区。已知帐篷和食品共320件,且帐篷比食品多80件。
(1)直接写出帐篷有200件,食品有120件；
(2)现计划租用$A$,$B$两种货车共8辆,一次性将这批物资全部送到扶贫区,已知两种车可装帐篷和食品的件数以及每辆货车所需付运费情况如表,问：共有几种租车方案？最少运费是多少？
| |帐篷/件|食品/件|每辆需付运费/元|
|$A$种货车|40|10|780|
|$B$种货车|20|20|700|
解：设租用A种货车$a$辆，则租用B种货车$(8 - a)$辆。
由题意，得$\begin{cases}40a + 20(8 - a) \geq 200 \\ 10a + 20(8 - a) \geq 120\end{cases}$
解得$2 \leq a \leq 4$。
因为$a$为整数，所以$a = 2$，$3$，$4$。
故租车方案有3种：
方案一：A种货车2辆，B种货车6辆，运费为$2×780 + 6×700 = 5760$元；
方案二：A种货车3辆，B种货车5辆，运费为$3×780 + 5×700 = 5840$元；
方案三：A种货车4辆，B种货车4辆，运费为$4×780 + 4×700 = 5920$元。
所以共有3种租车方案，最少运费是5760元。

答案：
(1)200；120
(2)解：设租用A种货车$a$辆，则租用B种货车$(8 - a)$辆。
由题意，得$\begin{cases}40a + 20(8 - a) \geq 200 \\ 10a + 20(8 - a) \geq 120\end{cases}$
解得$2 \leq a \leq 4$。
因为$a$为整数，所以$a = 2$，$3$，$4$。
故租车方案有3种：
方案一：A种货车2辆，B种货车6辆，运费为$2×780 + 6×700 = 5760$元；
方案二：A种货车3辆，B种货车5辆，运费为$3×780 + 5×700 = 5840$元；
方案三：A种货车4辆，B种货车4辆，运费为$4×780 + 4×700 = 5920$元。
所以共有3种租车方案，最少运费是5760元。