《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

18. (10分)欧拉公式讲述的是多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间存在的等量关系。
(1)如图,通过观察图中几何体,完成下列表格：


|多面体|顶点数V|面数F|棱数E|
|----|----|----|----|
|四面体|4|4|6|
|五面体|5|5|8|
|六面体|8|6|12|
(2)通过对如图所示的多面体的归纳,请你补全欧拉公式：V+F-E= 2。
【实际应用】
(3)足球一般由32块黑白皮子缝合而成,且黑色的是正五边形,白色的是正六边形。如果我们近似地把足球看成一个多面体,你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程。
设正五边形有$x$块，则正六边形有$(32 - x)$块。
$F=32$
$E=\frac{5x + 6(32 - x)}{2}=-\frac{1}{2}x + 96$
$V=E÷3×2=(-\frac{1}{2}x + 96)÷3×2=-\frac{1}{3}x + 64$
由欧拉公式$V + F - E=2$得：
$(-\frac{1}{3}x + 64)+32-(-\frac{1}{2}x + 96)=2$
解得$x = 12$
$32 - x=32 - 12=20$
答：正五边形有12块，正六边形有20块。

答案：
(1)
|多面体|顶点数V|面数F|棱数E|
|----|----|----|----|
|四面体|4|4|6|
|五面体|5|5|8|
|六面体|8|6|12|
(2)2
(3)设正五边形有$x$块，则正六边形有$(32 - x)$块。
$F=32$
$E=\frac{5x + 6(32 - x)}{2}=-\frac{1}{2}x + 96$
$V=E÷3×2=(-\frac{1}{2}x + 96)÷3×2=-\frac{1}{3}x + 64$
由欧拉公式$V + F - E=2$得：
$(-\frac{1}{3}x + 64)+32-(-\frac{1}{2}x + 96)=2$
解得$x = 12$
$32 - x=32 - 12=20$
答：正五边形有12块，正六边形有20块。

19. (16分)在“制作正方体纸盒”的实践活动中,某小组利用宽为m cm,长为n cm的长方形纸板制作正方体纸盒,有如下两种设计方案。(纸板厚度及接缝处忽略不计)

(1)方案一：制作无盖正方体纸盒
若n= m,按图①所示的方式,在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形,小正方形的边长为x cm,再沿虚线折合起来,可以得到一个无盖正方体纸盒。此时,你发现x与m之间满足的等量关系是____。
(2)方案二：制作有盖正方体纸盒
若n＞m,在图②的长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形,剩下部分恰好可以折合成一个有盖的正方体纸盒,其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样。请在图②中画出你的设计方案。剪去的小长方形用阴影表示,折痕用虚线表示。
(3)在方案二的条件下,求代数式5(2m-3n+1)-3(2m-4n-1)的值。

答案：

(1)$x=\frac{1}{3}m$ 提示：
∵宽为 $m$ cm，长为 $n$ cm 的长方形纸板制作正方体纸盒，且 $n = m$，
∴ $3x = m$，即 $x=\frac{1}{3}m$.
(2)
∵在题图②的长方形纸板的三个角各剪去 1 个大小相同的小长方形，剩下部分恰好可以折合成一个有盖的正方体纸盒，其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样，即棱长 $x=\frac{1}{3}m$，
∴所画图形如图所示(合理即可):
(3)$5(2m - 3n + 1)-3(2m - 4n - 1)=10m - 15n + 5 - 6m + 12n + 3 = 4m - 3n + 8$.
∵其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样，
∴小正方形边长为 $x$，即 $m = 3x$，$n = 4x$，
∴ $4m - 3n + 8 = 4\cdot3x - 3\cdot4x + 8 = 8$，综上所述，$5(2m - 3n + 1) - 3(2m - 4n - 1)$ 的值为 8.