《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

19. (8分)定义：对于依次排列的多项式$x+a$,$x+b$,$x+c$($a$,$b$,$c$是常数),当它们满足$(x+b)^{2}-(x+a)(x+c)= M$,且$M$为常数时,称$a$,$b$,$c$是一组完美数,$M$是该组完美数的完美因子. 例如：对于多项式$x+1$,$x+3$,$x+5$,因为$(x+3)^{2}-(x+1)(x+5)= 4$,所以1,3,5是一组完美数,4是该组完美数的完美因子.
(1)已知-2,-4,-6是一组完美数,求该组完美数的完美因子$M$.
(2)当$a$,$b$,$c$之间满足什么数量关系时,它们是一组完美数？并说明理由.

答案：
(1) 根据题意，得
$M=(x-4)^{2}-(x-2)(x-6)$
$=x^{2}-8x+16-(x^{2}-8x+12)$
$=x^{2}-8x+16-x^{2}+8x-12$
$=4$
(2) 当$2b - a - c = 0$时，$a$，$b$，$c$是一组完美数。理由如下：
$(x+b)^{2}-(x+a)(x+c)$
$=x^{2}+2bx+b^{2}-[x^{2}+(a+c)x+ac]$
$=x^{2}+2bx+b^{2}-x^{2}-(a+c)x-ac$
$=(2b - a - c)x + (b^{2}-ac)$
因为结果为常数，所以$2b - a - c = 0$。

20. (8分)【阅读理解】题目：若$(10-x)(x-5)= 2$,求$(10-x)^{2}+(x-5)^{2}$的值.
由观察,得$(10-x)与(x-5)中的x与-x$互为相反数,∴我们不妨设$a= 10-x$,$b= x-5$.
∵$(10-x)(x-5)= 2$,
∴$ab= 2$.
∵$(10-x)+(x-5)= 5$,
∴$a+b= (10-x)+(x-5)= 5$.
∴$(10-x)^{2}+(x-5)^{2}= a^{2}+b^{2}$
$=(a+b)^{2}-2ab$
$=5^{2}-2×2$
$=21$.
我们把这种方法叫做换元法,利用换元法达到简化计算的目的,体现了转化的数学思想.
【理解应用】(1)若$(8-x)(x-3)= 3$,则$(8-x)^{2}+(x-3)^{2}= $19.
(2)若$x满足(2025-x)^{2}+(x-2021)^{2}= 10$,求$(2025-x)(x-2021)$的值.3
【拓展】如图,在$\triangle ABC$中,$∠ABC= 90^{\circ}$,$BC= 12$,点$D是边BC$上的点,在边$AB上取一点E$,使$AE= CD$,设$AE= x(x＞0)$. 分别以$AB$,$BD为边在\triangle ABC外部作正方形ABFG和正方形BDMN$,连接$AD$. 若$BE= 4$,$\triangle ABD$的面积为10,直接写出正方形$ABFG和正方形BDMN$的面积和.216

答案： 【理解应用】
(1) 设$a = 8 - x$，$b = x - 3$，
$\because (8 - x)(x - 3) = 3$，
$\therefore ab = 3$，
$\because (8 - x) + (x - 3) = 5$，
$\therefore a + b = 5$，
$\therefore (8 - x)^{2} + (x - 3)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 5^{2} - 2×3 = 19$。
(2) 设$a = 2025 - x$，$b = x - 2021$，
$\therefore a + b = 2025 - x + x - 2021 = 4$，
$\therefore (a + b)^{2} = 16$，即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 16$，
$\because (2025 - x)^{2} + (x - 2021)^{2} = 10$，
$\therefore a^{2} + b^{2} = 10$，
$\therefore 10 + 2ab = 16$，解得$ab = 3$，
$\therefore (2025 - x)(x - 2021) = 3$。
【拓展】
设$AE = x$，则$CD = x$，
$\because BE = 4$，$BC = 12$，
$\therefore AB = AE + BE = x + 4$，$BD = BC - CD = 12 - x$，
$\because S_{\triangle ABD} = 10$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，
$\therefore \frac{1}{2}AB \cdot BD = 10$，即$AB \cdot BD = 20$，
$\therefore (x + 4)(12 - x) = 20$，
设$a = x + 4$，$b = 12 - x$，则$a + b = 16$，$ab = 20$，
$\therefore$正方形$ABFG$和正方形$BDMN$的面积和为$AB^{2} + BD^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab = 16^{2} - 2×20 = 216$。
答案：
(1) $19$；
(2) $3$；【拓展】$216$。