《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

12. 已知线段 $ AB = 10 $,直线 $ AB $ 上有一点 $ C $,且 $ BC = 4 $, $ M $ 是线段 $ AC $ 的中点,则 $ AM $ 的长为______7或3.

答案： 解：当点C在线段AB上时，
AC = AB - BC = 10 - 4 = 6，
∵M是AC中点，
∴AM = AC/2 = 6/2 = 3；
当点C在线段AB延长线上时，
AC = AB + BC = 10 + 4 = 14，
∵M是AC中点，
∴AM = AC/2 = 14/2 = 7；
综上，AM的长为7或3。

13. 长方形的长为 3,宽为 2,若将长方形绕长方形的一边旋转一周,则所得几何体的体积是18π或12π.

答案： 情况一：绕长所在的边旋转一周
所得圆柱的底面半径为2，高为3
体积$V = \pi r^2 h = \pi × 2^2 × 3 = 12\pi$
情况二：绕宽所在的边旋转一周
所得圆柱的底面半径为3，高为2
体积$V = \pi r^2 h = \pi × 3^2 × 2 = 18\pi$
18π或12π

14. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $ 30^{\circ} $,则顶角的度数为60°或120°.

答案： 解：
情况一：当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部。
顶角与高和另一腰的夹角互余，顶角 = 90° - 30° = 60°。
情况二：当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。
顶角的外角与高和另一腰的夹角互余，顶角的外角 = 90° - 30° = 60°，顶角 = 180° - 60° = 120°。
综上，顶角的度数为60°或120°。

15. 如图,用棱长为 1 cm 的小立方块组成一个几何体,从正面看和从上面看得到的图形如图所示,则这样的几何体最少有7块小立方体.

答案： 解：由俯视图可知底层小立方块的排列为：
第一列2个，第二列2个，第三列1个，共5个。
由主视图可知：
第一列最高2层，第二列最高2层，第三列最高1层。
底层已有5个，第二层最少需在第一列和第二列各加1个，共2个。
则这样的几何体最少有5+2=7块小立方体。
答案：7

16. 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC = 12 $ cm, $ BC = 6 $ cm, $ D $ 为 $ BC $ 的中点,动点 $ P $ 从 $ B $ 点出发,以每秒 1 cm 的速度沿 $ B \to A \to C $ 的方向运动,设运动的时间为 $ t(s) $,过 $ D $, $ P $ 两点的直线将 $ \triangle ABC $ 的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的 2 倍,那么 $ t $ 的值为______7或17.

答案： 解：
$\because AB=AC=12\,\text{cm}$，$BC=6\,\text{cm}$，$D$为$BC$中点，
$\therefore BD=DC=3\,\text{cm}$，$\triangle ABC$周长为$12+12+6=30\,\text{cm}$．
情况1：点$P$在$AB$上（$0 \leq t \leq 12$）
此时$BP=t\,\text{cm}$，$AP=(12-t)\,\text{cm}$．
直线$DP$分周长为两部分：
- 一部分：$BP+BD=t+3$
- 另一部分：$AP+AC+CD=(12-t)+12+3=27-t$
由题意，$t+3=2(27-t)$或$2(t+3)=27-t$．
解得$t=17$（舍去，$t \leq 12$）或$t=7$．
情况2：点$P$在$AC$上（$12 ＜ t \leq 24$）
此时$BP=AB+AP=12+(t-12)=t\,\text{cm}$（运动路程），$PC=24-t\,\text{cm}$．
直线$DP$分周长为两部分：
- 一部分：$BP+BD=t+3$
- 另一部分：$PC+CD=(24-t)+3=27-t$
由题意，$t+3=2(27-t)$或$2(t+3)=27-t$．
解得$t=17$或$t=7$（舍去，$t ＞ 12$）．
综上，$t=7$或$17$．
答案：$7$或$17$

17. 如果点 $ A $, $ B $ 在数轴上表示的数分别是 $ a $, $ b $,且 $ |a| = 3 $, $ |b| = 1 $,试确定 $ A $, $ B $ 两点之间的距离.

答案：
∵|a|=3，|b|=1，
∴a=±3，b=±1，
∴A，B两点之间的距离为3−1=2或−1−(−3)=2或3−(−1)=4或1−(−3)=4，即A，B两点之间的距离为2或4.

18. 如图,沿长方形的一条对角线剪开,将得到的两个直角三角形的最短边重合(两个三角形分别在重合边所在直线的两侧),能拼成几种平面图形？并画出图形.

答案：
能拼成两种平面图形，如图:
　　　　　

19. 已知 $ a $, $ b $ 互为相反数, $ c $, $ d $ 互为倒数, $ |x| = 1 $,求 $ x(a + b - \frac{1}{cd} - cd) $ 的值.

答案： 由题意得a+b=0，cd=1，x=±1，
当x=1时，原式=1×(0−1−1)=−2；
当x=−1时，原式=−1×(0−1−1)=2.