《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

10. 若 $ x ＜ y $,且 $ (m - 2)x ＞ (m - 2)y $,则 $ m $ 的取值范围是$ m ＜ 2 $。

答案： 解：因为 $ x ＜ y $，且 $ (m - 2)x ＞ (m - 2)y $，
所以不等式两边同时乘以$ (m - 2) $后，不等号方向改变，
根据不等式的性质，可得 $ m - 2 ＜ 0 $，
解得 $ m ＜ 2 $。
故答案为：$ m ＜ 2 $

11. 当$a \geq 1$时,关于 $ x $ 的方程 $ 4(x + 2) - 5 = 3a + 2 $ 的解不小于 $ \frac{1}{2} $。

答案： 解：解方程 $4(x + 2) - 5 = 3a + 2$，
去括号得：$4x + 8 - 5 = 3a + 2$，
化简得：$4x + 3 = 3a + 2$，
移项得：$4x = 3a + 2 - 3$，
合并同类项得：$4x = 3a - 1$，
系数化为1得：$x = \frac{3a - 1}{4}$。
因为方程的解不小于$\frac{1}{2}$，所以$\frac{3a - 1}{4} \geq \frac{1}{2}$，
两边同时乘以4得：$3a - 1 \geq 2$，
移项得：$3a \geq 3$，
解得：$a \geq 1$。
$a \geq 1$

12. 若不等式组 $ \begin{cases} 2x - b \geq 0, \\ x + a \leq 0 \end{cases} $ 的解集为 $ 3 \leq x \leq 4 $,则不等式 $ ax + b ＜ 0 $ 的解集为$x ＞ \frac{3}{2}$。

答案： 解：解不等式组$\begin{cases}2x - b \geq 0 \\ x + a \leq 0\end{cases}$，
由$2x - b \geq 0$得$x \geq \frac{b}{2}$，
由$x + a \leq 0$得$x \leq -a$。
因为不等式组的解集为$3 \leq x \leq 4$，
所以$\frac{b}{2} = 3$，$-a = 4$，
解得$b = 6$，$a = -4$。
则不等式$ax + b ＜ 0$为$-4x + 6 ＜ 0$，
$-4x ＜ -6$，
$x ＞ \frac{3}{2}$。
故答案为$x ＞ \frac{3}{2}$。

13. 在一次“人与自然”的知识竞赛中,竞赛试题共有 25 道,每道题都给出 4 个答案,其中只有一个答案正确,要求学生把正确答案选出来,每道题选对得 4 分,不选或选错倒扣 2 分。如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于 60 分,那么他至少选对了______道题。
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答案： 解：设他选对了$x$道题，则不选或选错的有$(25 - x)$道题。
根据题意，得$4x - 2(25 - x) \geq 60$，
去括号，得$4x - 50 + 2x \geq 60$，
合并同类项，得$6x - 50 \geq 60$，
移项，得$6x \geq 110$，
系数化为$1$，得$x \geq \frac{55}{3} \approx 18.33$。
因为$x$为整数，所以$x$的最小值为$19$。
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14. 下面是一个运算程序图,若需要经过两次运算才能输出结果 $ y $,则输入的 $ x $ 的取值范围是______。

$4 \leq x ＜ 11$

答案： 解：第一次运算结果：$3x - 1$
因为第一次运算不输出，所以$3x - 1 ＜ 32$，解得$x ＜ 11$
第二次运算结果：$3(3x - 1) - 1 = 9x - 4$
因为第二次运算输出，所以$9x - 4 \geq 32$，解得$x \geq 4$
综上，$4 \leq x ＜ 11$
$4 \leq x ＜ 11$

15. 若不等式组 $ \begin{cases} 2x + a ＞ 0, \\ \frac{1}{2}x ＞ -\frac{a}{4} + 1 \end{cases} $ 的解集中的任意 $ x $,都能使不等式 $ x - 5 ＞ 0 $ 成立,则 $ a $ 的取值范围是$a \leq -6$。

答案： 解：解不等式 $2x + a ＞ 0$，得 $x ＞ -\frac{a}{2}$。
解不等式 $\frac{1}{2}x ＞ -\frac{a}{4} + 1$，两边同乘 2 得 $x ＞ -\frac{a}{2} + 2$。
所以不等式组的解集为 $x ＞ -\frac{a}{2} + 2$。
因为不等式组的解集中的任意 $x$ 都能使 $x - 5 ＞ 0$（即 $x ＞ 5$）成立，所以 $ -\frac{a}{2} + 2 \geq 5$。
解得 $ -\frac{a}{2} \geq 3$，即 $a \leq -6$。
$a \leq -6$

16. 对于任意实数 $ m, n $,定义一种运算： $ m※n = mn - m - n + 3 $,等式的右边是通常的加减和乘法运算,例如： $ 3※5 = 3×5 - 3 - 5 + 3 = 10 $。请根据上述定义解决问题：若 $ a ＜ 2※x ＜ 7 $,且解集中有两个整数解,则 $ a $ 的取值范围是______$4 ≤ a ＜ 5$。

答案： 解：根据定义，$2※x = 2x - 2 - x + 3 = x + 1$。
∵ $a ＜ 2※x ＜ 7$，
∴ $a ＜ x + 1 ＜ 7$，
即 $a - 1 ＜ x ＜ 6$。
∵ 解集中有两个整数解，
∴ 这两个整数解为 4，5，
∴ $3 ≤ a - 1 ＜ 4$，
解得 $4 ≤ a ＜ 5$。
$4 ≤ a ＜ 5$

17. 解下列不等式(组),并把不等式(组)的解集在数轴上表示出来：
(1) $ 5x - 12 \leq 2(4x - 3) $；
(2) $ \frac{x + 4}{3} - \frac{3x - 1}{2} ＞ 1 $；
(3) $ \begin{cases} 3x \geq x + 2, \\ x + 4 ＜ 2(2x - 1) \end{cases} $；
(4) $ \begin{cases} \frac{1}{2}(x + 1) \leq 2, \\ \frac{x + 2}{2} \geq \frac{x + 3}{3} \end{cases} $。

答案：

(1) 去括号, 得 5x - 12 ≤ 8x - 6,移项, 得 5x - 8x ≤ -6 + 12,合并同类项, 得 -3x ≤ 6,系数化为 1, 得 x ≥ -2.不等式的解集在数轴上表示如图所示:
(2) 去分母, 得 2(x + 4) - 3(3x - 1) ＞ 6,去括号, 得 2x + 8 - 9x + 3 ＞ 6,移项, 得 2x - 9x ＞ 6 - 8 - 3,合并同类项, 得 -7x ＞ -5,系数化为 1, 得 x ＜ $\frac{5}{7}.$不等式的解集在数轴上表示如图所示:
(3) $ \begin{cases} 3x ≥ x + 2, & ① \\ x + 4 ＜ 2(2x - 1), & ② \end{cases} $解不等式①得, x ≥ 1,解不等式②得, x ＞ 2,
∴ 该不等式组的解集为 x ＞ 2.不等式组的解集在数轴上表示如图所示:
(4) $ \begin{cases} \frac{1}{2}(x + 1) ≤ 2, & ① \\ \frac{x + 2}{2} ≥ \frac{x + 3}{3}, & ② \end{cases} $解不等式①得, x ≤ 3,解不等式②得, x ≥ 0,
∴ 该不等式组的解集为 0 ≤ x ≤ 3.不等式组的解集在数轴上表示如图所示:

18. 已知 $ \begin{cases} 3x + 2y = k + 1, \\ 4x + 3y = k - 1 \end{cases} $ 的解中 $ x, y $ 同号,求整数 $ k $ 的值。

答案： 解：解方程组$\begin{cases}3x + 2y = k + 1 \\ 4x + 3y = k - 1\end{cases}$，
由$3×(3x + 2y) - 2×(4x + 3y)=3(k + 1)-2(k - 1)$，
得$9x + 6y - 8x - 6y = 3k + 3 - 2k + 2$，
解得$x = k + 5$，
将$x = k + 5$代入$3x + 2y = k + 1$，得$3(k + 5) + 2y = k + 1$，
$3k + 15 + 2y = k + 1$，$2y = -2k - 14$，解得$y = -k - 7$，
所以$\begin{cases}x = k + 5 \\ y = -k - 7\end{cases}$。
因为$x$，$y$同号，所以有两种情况：
情况一：$\begin{cases}k + 5 ＞ 0 \\ -k - 7 ＞ 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k ＞ -5 \\ k ＜ -7\end{cases}$，此不等式组无解；
情况二：$\begin{cases}k + 5 ＜ 0 \\ -k - 7 ＜ 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k ＜ -5 \\ k ＞ -7\end{cases}$，即$-7 ＜ k ＜ -5$。
因为$k$为整数，所以$k = -6$。
答：整数$k$的值为$-6$。