《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

18. (6分)用简便方法计算：
(1)$ (-9)^{3} × \left(-\frac{2}{3}\right)^{3} × \left(\frac{1}{3}\right)^{3} $；
(2)$ -0.25^{14} × 2^{30} $。

答案：
(1)解：原式$=[(-9)×(-\frac{2}{3})×\frac{1}{3}]^{3}$
$=2^{3}$
$=8$
(2)解：原式$=-(\frac{1}{4})^{14}×(2^{2})^{15}$
$=-(\frac{1}{4})^{14}×4^{15}$
$=-4^{15-14}$
$=-4$

19. (6分)若$ 3^{3} × 9^{m+4} ÷ 27^{2m-1} $的值为729,求$ m $的值。

答案： 解：$\because 3^{3} × 9^{m + 4} ÷ 27^{2m - 1} = 729$，
$\therefore 3^{3} × (3^{2})^{m + 4} ÷ (3^{3})^{2m - 1} = 3^{6}$，
$\therefore 3^{3} × 3^{2m + 8} ÷ 3^{6m - 3} = 3^{6}$，
$\therefore 3^{3 + 2m + 8 - (6m - 3)} = 3^{6}$，
$\therefore 3 + 2m + 8 - 6m + 3 = 6$，
$\therefore -4m + 14 = 6$，
$\therefore -4m = -8$，
解得$m = 2$。

20. (8分)已知$ a^{3m}= 64 $,$ a^{n}= 8 $,求代数式$ (a^{3n-2m}-33)^{2025} $的值。

答案： 解：$\because a^{3m}=64$，
$\therefore (a^{m})^{3}=64$，
$\therefore a^{m}=4$。
$\because a^{n}=8$，
$\therefore a^{3n-2m}-33=a^{3n}÷ a^{2m}-33=(a^{n})^{3}÷(a^{m})^{2}-33=8^{3}÷4^{2}-33=512÷16-33=32-33=-1$。
$\therefore (a^{3n-2m}-33)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$。

21. (10分)阅读下列材料：
一般地,$ n 个相同的因数 a $相乘,$ \underbrace{a \cdot a …\cdot \cdot a}_{n个} 记为 a^{n} $。如$ 2 × 2 × 2= 2^{3}= 8 $,此时,3叫作以2为底8的对数,记为$ \log_{2}8 $(即$ \log_{2}8= 3 $)。一般地,若$ a^{n}= b $($ a ＞ 0 且 a \neq 1 $,$ b ＞ 0 $),则$ n 叫作以 a 为底 b $的对数,记为$ \log_{a}b $(即$ \log_{a}b= n $)。如$ 3^{4}= 81 $,则4叫作以3为底81的对数,记为$ \log_{3}81 $(即$ \log_{3}81= 4 $)。
(1)计算以下各对数的值：
$ \log_{2}4= \underline{2} $；$ \log_{2}16= \underline{4} $；$ \log_{2}64= \underline{6} $。
(2)观察(1)中4,16,64三个数之间满足怎样的关系式,$ \log_{2}4 $,$ \log_{2}16 $,$ \log_{2}64 $之间又满足怎样的关系式。
4×16=64，$\log_{2}4+\log_{2}16=\log_{2}64$
(3)由(2)的结果,你能归纳出一个一般性的结论吗？
$ \log_{a}M+\log_{a}N= \underline{\log_{a}(MN)} $($ a ＞ 0 且 a \neq 1 $,$ M ＞ 0 $,$ N ＞ 0 $)。
(4)根据幂的运算法则：$ a^{n} \cdot a^{m}= a^{n+m} $以及对数的含义证明上述结论。
证明：设$\log_{a}M=b_{1}$，$\log_{a}N=b_{2}$，则$a^{b_{1}}=M$，$a^{b_{2}}=N$。
$\therefore M\cdot N=a^{b_{1}}\cdot a^{b_{2}}=a^{b_{1}+b_{2}}$。
$\therefore b_{1}+b_{2}=\log_{a}(MN)$。
即$\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}(MN)$。

答案：
(1) 2；4；6
(2) 4×16=64，$\log_{2}4+\log_{2}16=\log_{2}64$
(3) $\log_{a}(MN)$
(4) 证明：设$\log_{a}M=b_{1}$，$\log_{a}N=b_{2}$，则$a^{b_{1}}=M$，$a^{b_{2}}=N$。
$\therefore M\cdot N=a^{b_{1}}\cdot a^{b_{2}}=a^{b_{1}+b_{2}}$。
$\therefore b_{1}+b_{2}=\log_{a}(MN)$。
即$\log_{a}M+\log_{a}N=\log_{a}(MN)$。