《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

14. 已知关于$x的不等式组\begin{cases}x - a ＞ 0,\\3 - 2x \geq - 1\end{cases} $的整数解共有5个,则$a$的取值范围是$-3 \leq a ＜ -2$。

答案： 解：解不等式组$\begin{cases}x - a ＞ 0 \\3 - 2x \geq -1\end{cases}$，
解$x - a ＞ 0$得$x ＞ a$，
解$3 - 2x \geq -1$得$-2x \geq -4$，即$x \leq 2$，
所以不等式组的解集为$a ＜ x \leq 2$。
因为整数解共有5个，即$2,1,0,-1,-2$，
所以$a$的取值范围是$-3 \leq a ＜ -2$。
$-3 \leq a ＜ -2$

15. 按如下程序进行运算：

并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算,且运算进行4次才停止,则可输入的整数$x$的个数是______。4

答案： 解：根据程序运算规则，运算进行4次才停止，说明前3次运算结果不大于65，第4次运算结果大于65。
第一次运算结果：$2x - 1$
第二次运算结果：$2(2x - 1) - 1 = 4x - 3$
第三次运算结果：$2(4x - 3) - 1 = 8x - 7$
第四次运算结果：$2(8x - 7) - 1 = 16x - 15$
依题意可列不等式组：
$\begin{cases}8x - 7 \leq 65 \\ 16x - 15 ＞ 65\end{cases}$
解第一个不等式：$8x - 7 \leq 65$
$8x \leq 72$
$x \leq 9$
解第二个不等式：$16x - 15 ＞ 65$
$16x ＞ 80$
$x ＞ 5$
所以$5 ＜ x \leq 9$，整数$x$为6，7，8，9，共4个。
答案：4

16. 对于一个三位数$N$,若其百位上的数与个位上的数之和比十位上的数少1,则称数$N$为“首尾数”。例如：数142,因为$4 - (1 + 2) = 1$,所以142是“首尾数”,数264,因为$6 - (2 + 4) \neq 1$,所以264不是“首尾数”,则最小的“首尾数”为______120；若“首尾数”$N$的个位上的数不为零,将其百位上的数和个位上的数对调,组成一个新的三位数记为$N'$,若$\frac{|N - N'|}{11}$为一个整数的平方,则满足条件的$N$的最大值为______692。

答案： 设三位数$N$的百位数字为$a$，十位数字为$b$，个位数字为$c$，其中$a$为$1 - 9$的整数，$b$、$c$为$0 - 9$的整数。
求最小的“首尾数”
由“首尾数”定义得：$b-(a + c)=1$，即$b=a + c + 1$。
要使$N$最小，需$a$最小，$a=1$。此时$b=c + 2$，要使$N$最小，$b$、$c$应尽可能小。$c=0$时，$b=2$，则$N=120$。
求满足条件的$N$的最大值
$N=100a + 10b + c$，对调后$N'=100c + 10b + a$，$|N - N'|=99|a - c|=9×11×|a - c|$，则$\frac{|N - N'|}{11}=9|a - c|$。
因为$\frac{|N - N'|}{11}$为整数平方，且$9|a - c|=k^2$（$k$为整数），$9|a - c|$是平方数，所以$|a - c|$为平方数。$|a - c|$可取$1$、$4$（$0$不合题意，$9$时$a$、$c$不满足数位要求）。
要使$N$最大，$a$应尽可能大，$a=9$时：
- $|9 - c|=4$，$c=5$或$13$（$13$舍去），$c=5$，$b=a + c + 1=15$（$b$最大为$9$，舍去）；
- $|9 - c|=1$，$c=8$或$10$（$10$舍去），$c=8$，$b=9 + 8 + 1=18$（舍去）。
$a=8$时：
- $|8 - c|=4$，$c=4$或$12$（$12$舍去），$c=4$，$b=8 + 4 + 1=13$（舍去）；
- $|8 - c|=1$，$c=7$或$9$，$c=7$时$b=16$（舍去），$c=9$时$b=18$（舍去）。
$a=7$时：
- $|7 - c|=4$，$c=3$或$11$（$11$舍去），$c=3$，$b=7 + 3 + 1=11$（舍去）；
- $|7 - c|=1$，$c=6$或$8$，$c=6$时$b=14$（舍去），$c=8$时$b=16$（舍去）。
$a=6$时：
- $|6 - c|=4$，$c=2$或$10$（$10$舍去），$c=2$，$b=6 + 2 + 1=9$（符合），此时$N=692$；
- $|6 - c|=1$，$c=5$或$7$，$c=5$时$b=12$（舍去），$c=7$时$b=14$（舍去）。
答案：120；692

17. (8分)解下列不等式(组),并把它们的解集在数轴上表示出来。
(1)$\frac{5x - 1}{3} ＜ x + 1$；
(2)$\begin{cases}3x - (x - 2) ＞ 4, &①\frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1. &②\end{cases} $

答案：
(1)解：$\frac{5x - 1}{3} ＜ x + 1$
$5x - 1 ＜ 3(x + 1)$
$5x - 1 ＜ 3x + 3$
$5x - 3x ＜ 3 + 1$
$2x ＜ 4$
$x ＜ 2$
(2)解：解不等式①$3x - (x - 2) ＞ 4$
$3x - x + 2 ＞ 4$
$2x ＞ 2$
$x ＞ 1$
解不等式②$\frac{2x + 1}{3} ＞ x - 1$
$2x + 1 ＞ 3(x - 1)$
$2x + 1 ＞ 3x - 3$
$2x - 3x ＞ -3 - 1$
$-x ＞ -4$
$x ＜ 4$
$\therefore$不等式组的解集为$1 ＜ x ＜ 4$

18. (8分)已知$x$是整数,且$\frac{9x + 2}{3}与\frac{3x - 4}{2}$的差大于3且小于5,求$x$的值。

答案： 解：由题意，得$3 ＜ \frac{9x + 2}{3} - \frac{3x - 4}{2} ＜ 5$。
不等式两边同乘6去分母，得$18 ＜ 2(9x + 2) - 3(3x - 4) ＜ 30$。
去括号，得$18 ＜ 18x + 4 - 9x + 12 ＜ 30$。
合并同类项，得$18 ＜ 9x + 16 ＜ 30$。
即$\begin{cases}9x + 16 ＞ 18 \\ 9x + 16 ＜ 30\end{cases}$
解第一个不等式：$9x ＞ 18 - 16$，$9x ＞ 2$，$x ＞ \frac{2}{9}$。
解第二个不等式：$9x ＜ 30 - 16$，$9x ＜ 14$，$x ＜ \frac{14}{9}$。
所以$\frac{2}{9} ＜ x ＜ \frac{14}{9}$。
因为$x$是整数，所以$x = 1$。