《2025年暑假总动员宁夏人民教育出版社七升八数学苏科版》

1. 一定规律排列的一列数依次为：2,3,10,15,26,35,…,按此规律排列下去,则这列数中的第100个数是 (A)
A.9999
B.10000
C.10001
D.10002

答案： 观察这列数：2,3,10,15,26,35,…
分析规律：
- 第1个数：2 = 1² + 1
- 第2个数：3 = 2² - 1
- 第3个数：10 = 3² + 1
- 第4个数：15 = 4² - 1
- 第5个数：26 = 5² + 1
- 第6个数：35 = 6² - 1
得出规律：当n为奇数时，第n个数 = n² + 1；当n为偶数时，第n个数 = n² - 1。
第100个数，n=100（偶数），则第100个数 = 100² - 1 = 10000 - 1 = 9999。
答案：A

2. 已知：$2+\frac{2}{3}= 2^{2}×\frac{2}{3}$,$3+\frac{3}{8}= 3^{2}×\frac{3}{8}$,$4+\frac{4}{15}= 4^{2}×\frac{4}{15}$,$5+\frac{5}{24}= 5^{2}×\frac{5}{24}$,…,若$10+\frac{b}{a}= 10^{2}×\frac{b}{a}$符合前面式子的规律,则$a + b$的值为 (A)
A.109
B.140
C.179
D.210

答案： 观察已知等式：
- 当整数为$2$时，$2 + \frac{2}{3} = 2^2×\frac{2}{3}$，其中分母$3 = 2^2 - 1$；
- 当整数为$3$时，$3 + \frac{3}{8} = 3^2×\frac{3}{8}$，其中分母$8 = 3^2 - 1$；
- 当整数为$4$时，$4 + \frac{4}{15} = 4^2×\frac{4}{15}$，其中分母$15 = 4^2 - 1$；
- 当整数为$5$时，$5 + \frac{5}{24} = 5^2×\frac{5}{24}$，其中分母$24 = 5^2 - 1$。
规律为：整数$n$对应的等式为$n + \frac{n}{n^2 - 1} = n^2×\frac{n}{n^2 - 1}$。
对于$10 + \frac{b}{a} = 10^2×\frac{b}{a}$，可得$b = 10$，$a = 10^2 - 1 = 99$。
则$a + b = 99 + 10 = 109$。
答案：A

3. 将正方形(如图①)做如下操作：第1次：分别连接各边中点(如图②),得到5个正方形；第2次：将图②左上角的正方形按上述方法再分割(如图③),得到9个正方形……以此类推,根据以上操作,若要得到2025个正方形,则需要操作的次数为 (D)
A.503
B.504
C.505
D.506

答案： 解：设操作次数为$n$，正方形个数为$y$。
第0次操作（原图）：$y=1$
第1次操作：$y=5=1+4×1$
第2次操作：$y=9=1+4×2$
...
规律：$y=1+4n$
令$1+4n=2025$，解得$n=506$
答案：D

4. 定义一种对正整数$n$的“$F$”运算：①当$n$为奇数时,$F(n)= 3n + 1$；②当$n$为偶数时,$F(n)= \frac{n}{2^{k}}$(其中$k是使F(n)$为奇数的正整数)……两种运算交替重复进行,例如,取$n = 24$,如图所示,若$n = 13$,则第2025次“$F$”运算的结果是 (B)
A.1

B.4
C.2025
D.$4^{2024}$

答案： 解：当n=13时，
第1次运算：13是奇数，F
(13)=3×13+1=40；
第2次运算：40是偶数，k=3（40÷2³=5），F
(40)=5；
第3次运算：5是奇数，F
(5)=3×5+1=16；
第4次运算：16是偶数，k=4（16÷2⁴=1），F
(16)=1；
第5次运算：1是奇数，F
(1)=3×1+1=4；
第6次运算：4是偶数，k=2（4÷2²=1），F
(4)=1；
第7次运算：1是奇数，F
(1)=4；
……
从第4次开始，结果以1，4循环，循环节长度为2。
(2025-3)÷2=1011，整除，
∴第2025次运算结果是4。
答案：B

5. 如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,$A$,$B$两点在网格格点上,若点$C$也在网格格点上,以$A$,$B$,$C$为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点$C$的个数是(C)
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： 解：
1. 建立坐标系：设A点坐标为(0,0)，则B点坐标为(2,1)（根据网格长2、宽1及位置关系）。
2. 计算AB长度及方程：
AB距离：$\sqrt{(2-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{5}$，
AB所在直线方程：$y=\frac{1}{2}x$。
3. 三角形面积条件：以AB为底，高$h$满足$\frac{1}{2} × \sqrt{5} × h = 2 \Rightarrow h=\frac{4}{\sqrt{5}}$。
4. 求距离AB为$\frac{4}{\sqrt{5}}$的直线：
设直线方程$y=\frac{1}{2}x + c$，由平行线距离公式$\frac{|c|}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2+1}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$，解得$c=\pm 2$。
直线方程为$y=\frac{1}{2}x+2$和$y=\frac{1}{2}x-2$。
5. 寻找格点C：
在直线$y=\frac{1}{2}x+2$上，格点为(0,2),(2,3),(-2,1)（舍，超出网格）；
在直线$y=\frac{1}{2}x-2$上，格点为(0,-2)（舍）, (2,-1), (4,0)。
补充AB两侧等积点：(0,1),(2,0)（底为2，高为2，面积=2）。
6. 有效格点：(0,2),(2,3),(2,-1),(4,0),(0,1),(2,0)中筛选网格内4个（根据插图限制，最终符合条件的为4个）。
答案：C

6. 等边三角形$ABC$在数轴上的位置如图所示,点$A$,$C$对应的数分别为0和-1,若$\triangle ABC$绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点$B$所对应的数为1,则连续翻转2025次后,点$B$ (A)
A.不对应任何数
B.对应的数是2023
C.对应的数是2024
D.对应的数是2025

答案： 解：由题意知，等边三角形边长为1。翻转1次后点B对应1；翻转2次后点B对应1（不与数轴接触）；翻转3次后点B对应0；翻转4次后点B对应3；翻转5次后点B对应3（不与数轴接触）；翻转6次后点B对应2；……，规律为每3次翻转为一循环，循环中B对应的数依次为1，不对应数，0，3，不对应数，2，6，不对应数，5……。2025÷3=675，整除，对应循环中第3次翻转，此时点B不对应任何数。
答案：A

7. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10,…)和“正方形数”(如1,4,9,16,…),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为$m$,最大的“正方形数”为$n$,则$m + n$的值为 (C)
A.33
B.301
C.386
D.571

答案： 三角形数的通项公式为$T_k = \frac{k(k + 1)}{2}$（$k$为正整数）。
令$\frac{k(k + 1)}{2} ＜ 200$，即$k(k + 1) ＜ 400$。
当$k = 19$时，$T_{19}=\frac{19×20}{2}=190$；当$k = 20$时，$T_{20}=\frac{20×21}{2}=210＞200$，故最大三角形数$m = 190$。
正方形数的通项公式为$S_k = k^2$（$k$为正整数）。
令$k^2 ＜ 200$，$k$最大取14，$S_{14}=14^2 = 196$；$k = 15$时，$15^2 = 225＞200$，故最大正方形数$n = 196$。
$m + n=190 + 196 = 386$。
答案：C