《2025年通城学典课时作业本七年级数学上册苏科版江苏专版》

6. (新考法·新定义题)(2024·宜宾)如果一个数等于它的全部真因数(一个自然数除自身以外的因数)的和,那么这个数称为“完美数”.例如:6的真因数是1,2,3,且6= 1+2+3,则称6为“完美数”.下列数中为“完美数”的是()
A. 8
B. 18
C. 28
D. 32

答案： C 解析：8 的真因数有 1，2，4。因为 $1 + 2 + 4 = 7$，所以 8 不是“完美数”。18 的真因数有 1，2，3，6，9。因为 $1 + 2 + 3 + 6 + 9 = 21$，所以 18 不是“完美数”。28 的真因数有 1，2，4，7，14。因为 $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$，所以 28 是“完美数”。32 的真因数有 1，2，4，8，16。因为 $1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$，所以 32 不是“完美数”。

7. (新考法·探究题)(2024·成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对1~n这n个自然数,任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现:当n= 2时,只有{1,2}一种取法,即k= 1;当n= 3时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即k= 2;当n= 4时,可得k= 4;…若n= 6,则k的值为______.

答案： 9 解析：当 $n = 6$ 时，从 1，2，3，4，5，6 中，取两个数的和大于 6，这两个数分别是 $\{6,1\}$，$\{6,2\}$，$\{6,3\}$，$\{6,4\}$，$\{6,5\}$，$\{5,2\}$，$\{5,3\}$，$\{5,4\}$，$\{4,3\}$，所以 $k = 5 + 3 + 1 = 9$。

8. 如图,先观察图形,再回答下列问题:
(1) 图中的点被隔开分成4层,第①层有1个点,第②层有3个点,第③层有5个点,则第④层有______个点.
(2) 如果要你继续画下去,那么第⑤层有______个点.
(3) 如果某一层有19个点,那么它是第______层.
(4) 第①层与第②层点的个数之和是______,前3层点的个数之和是______,前4层点的个数之和是______.你发现了什么规律? 根据你的推测,前100层点的个数之和是多少?

答案： （1）7 （2）9 （3）⑩ （4）4 9 16 规律：前 $n$ 层点的个数之和是 $n^{2}$ 前 100 层点的个数之和是 10 000

9. (2024·北京)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排,所有演员到场后节目彩排开始,一个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下:
| 节目 | A | B | C | D |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 演员人数 | 10 | 2 | 10 | 1 |
| 彩排时长 | 30 | 10 | 20 | 10 |
已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).
(1) 若节目按“A→B→C→D”的先后顺序彩排,则节目D的演员的候场时间为______min;
(2) 若使这23位演员的候场时间之和最小,则节目应按______的先后顺序彩排.

答案： （1）60 解析：节目 D 的演员的候场时间为 $30 + 10 + 20 = 60(min)$。
（2）$C→A→B→D$ 解析：第一步：因为 A 和 C 的演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该往后排，因此 C 在 A 的前面。因为 B 和 D 彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待的时长之和会少一些，因此 B 在 D 前面。第二步：列举出所有符合“C 在 A 前面、B 在 D 前面”的情况，并计算对应的 23 位演员候场时间之和，列表如下：
| 情况 | 彩排顺序 | 23 位演员候场时间之和/min |
| --- | --- | --- |
| ① | $C→A→B→D$ | $10×20 + 2×50 + 1×60 = 360$ |
| ② | $C→B→A→D$ | $2×20 + 10×30 + 1×60 = 400$ |
| ③ | $C→B→D→A$ | $2×20 + 1×30 + 10×40 = 470$ |
| ④ | $B→C→A→D$ | $10×10 + 10×30 + 1×60 = 460$ |
| ⑤ | $B→C→D→A$ | $10×10 + 1×30 + 10×40 = 530$ |
| ⑥ | $B→D→C→A$ | $1×10 + 10×20 + 10×40 = 610$ |
从而按照 $C→A→B→D$ 的先后顺序彩排时，这 23 位演员的候场时间之和最小。