《2025年通城学典课时作业本七年级数学上册苏科版江苏专版》

16. (2024·北京)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面实施汽车国六排放标准$6b$阶段(以下简称“标准”)．对某型号汽车,“标准”要求$A类物质排放量不超过35mg/km$,$A$,$B两类物质排放量之和不超过50mg/km$．已知该型号某汽车的$A$,$B两类物质排放量之和原为92mg/km$．经过一次技术改进,该汽车的$A类物质排放量降低了50\%$,$B类物质排放量降低了75\%$,$A$,$B两类物质排放量之和为40mg/km$．判断这次技术改进后该汽车的$A$类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由．

答案： 这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准” 理由：设原来该汽车的 A 类物质排放量为 $x$ mg/km，则该汽车的 B 类物质排放量为 $(92 - x)$ mg/km。根据题意，得 $(1 - 50\%)x + (1 - 75\%)(92 - x) = 40$。解这个方程，得 $x = 68$，此时 $(1 - 50\%)x = 34$，即这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量为 34 mg/km。因为 $34$ mg/km $ ＜ 35$ mg/km，所以这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准”。

17. 若关于$x的方程5x - a = 0的解比关于y的方程3y + a = 0的解小2$,则$a$的值是()
A. $\frac{15}{4}$
B. $-\frac{15}{4}$
C. $\frac{4}{15}$
D. $-\frac{4}{15}$

答案： B

18. (2024·广州)定义新运算：$a\otimes b = \left\{\begin{array}{l}a^{2} - b,a\leqslant 0,\\ -a + b,a＞0.\end{array}\right.$例如：$-2\otimes 4 = (-2)^{2} - 4 = 0$,$2\otimes 3 = -2 + 3 = 1$．若$x\otimes 1 = -\frac{3}{4}$,则$x$的值为()
A. $\pm \frac{1}{2}$
B. $\frac{7}{4}$
C. $\pm \frac{1}{2}或\frac{7}{4}$
D. $-\frac{1}{2}或\frac{7}{4}$

答案： D 解析：因为 $x \otimes 1 = -\frac{3}{4}$，所以当 $x \leq 0$ 时，$x^{2} - 1 = -\frac{3}{4}$，即 $x^{2} = \frac{1}{4}$，易得 $x = \frac{1}{2}$（不合题意，舍去）或 $x = -\frac{1}{2}$；当 $x ＞ 0$ 时，$-x + 1 = -\frac{3}{4}$，则 $x = \frac{7}{4}$。综上所述，$x$ 的值为 $ -\frac{1}{2}$ 或 $ \frac{7}{4}$。

19. (方程思想)任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式,应该怎样写呢？我们以无限循环小数$0.\dot{7}$为例进行说明：设$0.\dot{7} = x$．由$0.\dot{7} = 0.7777…$可知,$10x = 7.7777…$．所以$10x - x = 7$,解得$x = \frac{7}{9}$．于是,得$0.\dot{7} = \frac{7}{9}$．将$0.\dot{3}\dot{6}$写成分数的形式为______．

答案： $ \frac{4}{11} $

20. (2023·德阳)在初中数学文化节游园活动中,被称为“数学小王子”的小明参加了“智取九宫格”游戏比赛,活动规则是：在九宫格中,除了已经填写的三个数之外的每一个方格中,填入一个数,使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的$3$个数之和分别相等,且均为$m$．小明抽取到的题目如图所示,他运用初中所学的数学知识,很快就完成了这个游戏,则$m$的值为______．

答案： 39 解析：设九宫格中最中间的数为 $x$。根据第 1 列的中间的数与第 2 行的最左侧的数重合，得 $16 + 4 = 7 + x$，解得 $x = 13$。由于九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和等于最中间数的 3 倍，所以 $m = 3x = 39$。

21. (分类讨论思想)如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 4cm$,$BC = 3cm$,$E为CD$上一点,且$DE = CE$,动点$P从点A$出发,以每秒$1cm的速度沿A→B→C→E$运动,最终到达点$E$．若点$P运动的时间为x s$,则当$x = $______时,三角形$APE的面积为5cm^{2}$．

答案：
$ \frac{10}{3} $ 或 5 解析：情况 1：当点 $P$ 在边 $AB$ 上时，由三角形 $APE$ 的面积等于 $5$ cm²，得 $ \frac{1}{2}x \cdot 3 = 5$，解得 $x = \frac{10}{3}$。情况 2：当点 $P$ 在边 $BC$ 上时（如图①），由三角形 $APE$ 的面积等于 $5$ cm²，得 $S_{长方形ABCD} - S_{三角形CPE} - S_{三角形ADE} - S_{三角形ABP} = S_{三角形APE}$，即 $3 \times 4 - \frac{1}{2}(3 + 4 - x) \times 2 - \frac{1}{2} \times 2 \times 3 - \frac{1}{2} \times 4 \times (x - 4) = 5$，解得 $x = 5$。情况 3：当点 $P$ 在边 $CE$ 上时（如图②），由三角形 $APE$ 的面积等于 $5$ cm²，得 $ \frac{1}{2}(4 + 3 + 2 - x) \times 3 = 5$，解得 $x = \frac{17}{3} ＜ 3 + 4$，此种情况不合题意，舍去。综上所述，当 $x = \frac{10}{3}$ 或 5 时，三角形 $APE$ 的面积为 $5$ cm²。