《2025年通城学典课时作业本七年级数学上册苏科版江苏专版》

4. 计算：
(1)$-1-2-3-4-... -199-200$； (2)$1+5+5^{2}+5^{3}+... +5^{217}+5^{218}$。

答案： （1）设$S=-1-2-3-4-\cdots -199-200$①，则$S=-200-199-198-197-\cdots -2-1$②. 由①+②，得$2S=-201\times 200$，即$2S=-40200$，所以$S=-20100$，即$-1-2-3-4-\cdots -199-200=-20100$ （2）令$S=1+5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{217}+5^{218}$①，则$5S=5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+\cdots +5^{218}+5^{219}$②. 由②-①，得$5S-S=5^{219}-1$，所以$S=\frac{5^{219}-1}{4}$，即$1+5+5^{2}+5^{3}+\cdots +5^{217}+5^{218}=\frac{5^{219}-1}{4}$

5. 计算：$1+\frac {1}{2}+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{2^{3}}+... +\frac {1}{2^{2026}}$。

答案： 设$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots +\frac{1}{2^{2026}}$①，则$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}+\cdots +\frac{1}{2^{2027}}$②. 由①-②，得$\frac{1}{2}S=1-\frac{1}{2^{2027}}$，所以$S=2-\frac{1}{2^{2026}}$，即$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots +\frac{1}{2^{2026}}=2-\frac{1}{2^{2026}}$

6. 阅读材料：
在计算$\frac {1}{2}+\frac {1}{6}+\frac {1}{12}+\frac {1}{20}+... +\frac {1}{420}$时,直接计算很繁琐,我们可以采用“裂项——消项”法简化运算。
$\frac {1}{2}+\frac {1}{6}+\frac {1}{12}+\frac {1}{20}+... +\frac {1}{420}= \frac {1}{1×2}+\frac {1}{2×3}+\frac {1}{3×4}+\frac {1}{4×5}+... +\frac {1}{20×21}= (1-\frac {1}{2})+(\frac {1}{2}-\frac {1}{3})+(\frac {1}{3}-\frac {1}{4})+(\frac {1}{4}-\frac {1}{5})+... +(\frac {1}{20}-\frac {1}{21})= 1-\frac {1}{21}= \frac {20}{21}$。
方法应用：
试用“裂项——消项”法解下面各题：
(1)$\frac {1}{3×7}+\frac {1}{7×11}+\frac {1}{11×15}+... +\frac {1}{55×59}$； (2)$-\frac {1}{3}-\frac {1}{15}-\frac {1}{35}-\frac {1}{63}-\frac {1}{99}-\frac {1}{143}$。

答案： （1）原式$=\frac{1}{4}\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{7})+\frac{1}{4}\times (\frac{1}{7}-\frac{1}{11})+\frac{1}{4}\times (\frac{1}{11}-\frac{1}{15})+\cdots +\frac{1}{4}\times (\frac{1}{55}-\frac{1}{59})=\frac{1}{4}\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+\cdots +\frac{1}{55}-\frac{1}{59})=\frac{1}{4}\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{59})=\frac{14}{177}$ （2）原式$=-\frac{1}{1\times 3}-\frac{1}{3\times 5}-\frac{1}{5\times 7}-\frac{1}{7\times 9}-\frac{1}{9\times 11}-\frac{1}{11\times 13}=-\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{3})-\frac{1}{2}\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{5})-\frac{1}{2}\times (\frac{1}{5}-\frac{1}{7})-\frac{1}{2}\times (\frac{1}{7}-\frac{1}{9})-\frac{1}{2}\times (\frac{1}{9}-\frac{1}{11})-\frac{1}{2}\times (\frac{1}{11}-\frac{1}{13})=-\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13})=-\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{13})=-\frac{6}{13}$