《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例 用因式分解法解一元二次方程：
(1)$3x^{2}-5x= 0$； (2)$(2x-3)^{2}-25= 0$；
(3)$3x(2x+1)= 4x+2$.

答案：

解答：
(1)因式分解,得$x(3x-5)= 0$,

$\therefore x= 0$,或$3x-5= 0$.

$\therefore x_{1}= 0$,$x_{2}= \frac{5}{3}$.

(2)因式分解,得$(2x-3+5)(2x-3-5)= 0$.

$\therefore (x+1)(x-4)= 0$,

$\therefore x+1= 0$,或$x-4= 0$,

$\therefore x_{1}= -1$,$x_{2}= 4$.

(3)移项,得$3x(2x+1)-(4x+2)= 0$.

因式分解,得$(2x+1)(3x-2)= 0$.

$\therefore 2x+1= 0$,或$3x-2= 0$.

$\therefore x_{1}= -\frac{1}{2}$,$x_{2}= \frac{2}{3}$.

方法归纳：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)将方程的右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
(3)令每个因式分别为0,得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的根.

解方程：
(1)$3x(x-2)= x-2$；
(2)$\frac{1}{2}(x+5)^{2}-8= 0$.

答案：
(1)
∵$3x(x - 2) = x - 2$，
∴$3x(x - 2) - (x - 2) = 0$．
∴$(x - 2)(3x - 1) = 0$．
∴$x - 2 = 0$或$3x - 1 = 0$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = \frac{1}{3}$．
(2)
∵$\frac{1}{2}(x + 5)^2 - 8 = 0$，
∴$(x + 5)^2 - 16 = 0$．
∴$(x + 5 + 4)(x + 5 - 4) = 0$，即$(x + 9)(x + 1) = 0$．
∴$x + 9 = 0$，或$x + 1 = 0$，解得$x_1 = - 9$，$x_2 = - 1$．

1.方程$(x-1)(x+2)= 0$的两根分别为 ()
A.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 2$
B.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 2$
C.$x_{1}= -1$,$x_{2}= -2$
D.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -2$

答案： 1.D

2.一元二次方程$x^{2}+3x= 0$的解是 ()
A.$x= -3$
B.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 3$
C.$x_{1}= 0$,$x_{2}= -3$
D.$x= 3$

答案： 2.C

3.方程$x(x+1)= x+1$的解是 ()
A.$x_{1}= x_{2}= 1$
B.$x_{1}= x_{2}= 0$
C.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 0$
D.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -1$

答案： 3.D

4.已知一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的长是方程$(x-2)(x-4)= 0$的根,则这个三角形的周长为 ()
A.13
B.11
C.13或11
D.15

答案： 4.A

5.一元二次方程$3x^{2}-2x= 0$的解是______.

答案： 5.$x_1 = 0$，$x_2 = \frac{2}{3}$

6.已知关于$x的方程3(x-1)(x-m)= 0$的两个根是1和2,则$m$的值是______.

答案： 6.2