《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 如图,添加下列一个条件可以使$\square ABCD$成为矩形的是()

A. $AB = BC$
B. $\angle D = 120^{\circ}$
C. $\angle A + \angle C = 120^{\circ}$
D. $\angle B = \angle C$

答案：

导析：
(1)在$\square ABCD$中,若$\angle B = 90^{\circ}$(或$\angle A = 90^{\circ}或\angle C = 90^{\circ}或\angle D = 90^{\circ}$),则$\square ABCD$是矩形；
(2)矩形必须具备两个条件：①有一个直角；②平行四边形.二者同时满足,缺一不可.

解答：D

1. 平行四边形内角平分线能够围成的四边形是()
A. 梯形
B. 矩形
C. 正方形
D. 不是平行四边形

答案： B

例2 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$\angle ADB = 30^{\circ}$,$BD = 6$,求矩形的面积.

答案：

导析：根据矩形的对角线相等且互相平分,$\angle ADB = 30^{\circ}$,可得到$\triangle OCD$为等边三角形.在$Rt\triangle BDC$中,利用勾股定理求出$BC$的长,就可以求出矩形的面积.

解答：在矩形$ABCD$中,$\because \angle ADB = 30^{\circ}$,$\therefore \angle ODC = 60^{\circ}$.$\because OC = OD$,$\therefore \triangle OCD$是等边三角形.$\therefore CD = OD = \frac{1}{2}BD = 3$.在$Rt\triangle BDC$中,$BC = \sqrt{BD^{2} - DC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3}$.$\therefore S_{矩形ABCD} = BC × CD = 3\sqrt{3} × 3 = 9\sqrt{3}$.

方法归纳：由于矩形的四个角都是直角,因此常把有关问题转化为熟悉的直角三角形问题,同时矩形被两条对角线分成两对全等的等腰(边)三角形,所以解决问题时也常用到等腰(边)三角形的性质.

2. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E在AD$上,且$EC平分\angle BED$.
(1)求证：$\triangle BEC$是等腰三角形；
(2)若$AB = 1$,$\angle AEB = 45^{\circ}$,求$BC$的长.

答案：
(1)
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD // BC.
∴ ∠DEC = ∠ECB.
∵ EC 平分 ∠BED，
∴ ∠DEC = ∠BEC.
∴ ∠BEC = ∠ECB.
∴ BE = BC.
∴ △BEC 是等腰三角形.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°.
∵ AB = 1，∠AEB = 45°，
∴ ∠AEB = ∠ABE = 45°.
∴ AB = AE = 1.
∴ BE = $\sqrt{AB^{2} + AE^{2}} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$. 由
(1)知 BE = BC，
∴ BC = $\sqrt{2}$.