《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

1.因式分解:
(1)$2 a m ^ { 2 } - 18 a n ^ { 2 }$;
(2)$y ^ { 2 } - 7 y + 12$;
(3)$( 2 a - b ) ^ { 2 } + 8 a b$.

答案：
(1)原式$=2a(m+3n)(m-3n)$.
(2)原式$=(y-3)(y-4)$.
(3)原式$=(2a+b)^{2}$.

2.解方程(组):
(1)$\frac { x + 1 } { 3 } + 1 = x - \frac { x - 1 } { 2 }$;
(2)$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x - 2 ) - 3 ( y - 3 ) = 3, } \\ { y - 0.2 x = 3. } \end{array} \right.$

答案：
(1)$x=5$.
(2)$\left\{\begin{array}{l} x=5,\\ y=4.\end{array}\right. $

1.如图,在$▱A B C D$中,点$E$,$F分别是AD$,$BC$边上的点,且$\angle 1 = \angle 2$.求证:四边形$BEDF$是平行四边形.

答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC，DE//BF.在△BAE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠C,\\ AB=CD,\\ ∠1=∠2,\end{array}\right. $
∴△BAE≌△DCF(ASA).
∴AE=CF.又
∵AD=BC，
∴DE=BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.

2.如图,在$▱ A B C D$中,延长$DA到点E$,延长$BC到点F$,使得$A E = C F$,连接$EF$,分别交$AB$,$CD于点M$,$N$,连接$DM$,$BN$.
(1)求证:$\triangle A E M \cong \triangle C F N$;
(2)求证:四边形$BMDN$是平行四边形.

答案：
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD.
∴∠BAE=∠DCF.又
∵AD//BC，
∴∠DEM=∠BFN.
∵AE=CF，
∴△AEM≌△CFN(ASA).
(2)
∵△AEM≌△CFN，
∴AM=CN.易得AB=CD，
∴BM=DN.又
∵BM//ND，
∴四边形BMDN为平行四边形.