《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

1. 若分式$\frac {2x+1}{x-3}$等于零,则$x$的值是()
A. $x= 3$
B. $x≠3$
C. $x= -\frac {1}{2}$
D. $x≠-\frac {1}{2}$

答案： C

2. 已知$a= 1,b= 2$,则$\frac {ab}{a-b}$的值是()
A. $\frac {1}{2}$
B. $-\frac {1}{2}$
C. 2
D. $-2$

答案： D

3. 下面四个式子的约分运算中,正确的是()
A. $\frac {a^{2}}{b^{2}}= \frac {a}{b}$
B. $\frac {m+a^{2}}{n+a^{2}}= \frac {m}{n}$
C. $\frac {a+b}{an+bn}= \frac {1}{2n}$
D. $\frac {x-y}{y-x}= -1$

答案： D

4. 化简：$\frac {x^{2}}{x-2}+\frac {4}{2-x}= $____．

答案： $x + 2$

5. 先化简,再求值：
(1)$(1-\frac {3}{x})÷(x-\frac {6x-9}{x})$,其中$x= 5$；
(2)$\frac {1}{x}÷(\frac {x^{2}+1}{x^{2}-x}-\frac {2}{x-1})+\frac {1}{x+1}$,其中$x的值为方程2x= 5x-1$的解．

答案：
(1)原式$=\frac{x - 3}{x}\div\frac{x^{2}-6x + 9}{x}=\frac{x - 3}{x}\times\frac{x}{(x - 3)^{2}}=\frac{1}{x - 3}$。当$x = 5$时，原式$=\frac{1}{2}$。
(2)原式$=\frac{1}{x}\div\frac{x^{2}+1 - 2x}{x(x - 1)}+\frac{1}{x + 1}=\frac{1}{x}\times\frac{x(x - 1)}{(x - 1)^{2}}+\frac{1}{x + 1}=\frac{1}{x - 1}+\frac{1}{x + 1}=\frac{2x}{x^{2}-1}$。由$2x = 5x - 1$，得$x=\frac{1}{3}$。$\therefore$原式$=-\frac{3}{4}$。

容器中的水能倒完吗
一个容器装有1升水,按照如下要求把水倒出：第1次倒出$\frac {1}{2}$升水,第2次倒出的水量是$\frac {1}{2}升的\frac {1}{3}$,第3次倒出的水量是$\frac {1}{3}升的\frac {1}{4}$,第4次倒出的水量是$\frac {1}{4}升的\frac {1}{5}$,……$ 第n次倒出的水量是\frac {1}{n}升的\frac {1}{n+1}$．
按照这种倒水的方法,这1升水经多少次可以倒完？
方法1：计算剩余的水量；
方法2：计算倒出的总水量．

答案： 方法 1：第 1 次剩余：$\frac{1}{2}$，第 2 次剩余：$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，第 3 次剩余：$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$，……第$n$次剩余：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n + 1}=\frac{1}{n + 1}$。结论：分子为 1，不论$n$多大，$\frac{1}{n + 1}$总大于 0，容器中的水倒不完。
方法 2：用 1 升水减去第$n$次剩水量，即为倒出的总水量。$1-\frac{1}{n + 1}=\frac{n}{n + 1}$。结论：不论$n$多大，都有$n\lt n + 1$，即倒出水的总水量总小于 1 升，因此容器中的水是倒不完的。