《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

1. 正方形具有而菱形不具有的性质是()
A. 两条对角线互相垂直
B. 每条对角线平分一组对角
C. 四个角都是直角
D. 四条边相等

答案： C

2. 正方形的一条对角线为 4,则这个正方形的面积是()
A. 8
B. 4
C. 32
D. 16

答案： A

3. 正方形是轴对称图形,它的对称轴有()
A. 1 条
B. 2 条
C. 4 条
D. 无数条

答案： C

4. 如图,在正方形 $ A B C D $ 的外侧作等边三角形 $ A D E $,连接 $ B E $,则 $ \angle A E B $ 的度数为()

A. $ 10 ^ { \circ } $
B. $ 15 ^ { \circ } $
C. $ 20 ^ { \circ } $
D. $ 12.5 ^ { \circ } $

答案： B

5. 已知正方形 $ A B C D $ 的对角线 $ A C $,$ B D $ 相交于点 $ O $,且 $ A C = 16 \mathrm { cm } $,则 $ D O = $______ $ \mathrm { cm } $,$ \angle O C D = $______ $ ^ { \circ } $。

答案： 8 45

6. 如图,正方形 $ A B C D $ 的对角线相交于点 $ O $,以点 $ O $ 为顶点的正方形 $ O E G F $ 的两边 $ O E $,$ O F $ 分别交正方形 $ A B C D $ 的两边 $ A B $,$ B C $ 于点 $ M $,$ N $,记 $ \triangle A O M $ 的面积为 $ S _ { 1 } $,$ \triangle C O N $ 的面积为 $ S _ { 2 } $。若正方形的边长 $ A B = 6 $,$ S _ { 1 } = 6 $,则 $ S _ { 2 } $ 的大小为______。

答案： 3

7. 如图,在正方形 $ A B C D $ 中,点 $ E $,$ F $ 分别是 $ A B $,$ B C $ 上的点,且 $ A E = B F $。求证：$ C E = D F $。

答案：
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AB = BC = CD，∠B = ∠BCD = 90°。
∵ AE = BF，
∴ BE = CF。在△BCE 和△CDF 中，$\left\{ \begin{array} { l } { B E = C F . } \\ { \angle E B C = \angle F C D } \\ { B C = C D , } \end{array} \right.$
∴ △BCE ≌ △CDF (SAS)。
∴ CE = DF。

8. 在正方形 $ A B C D $ 中,$ A C $ 为对角线,$ E $ 为 $ A C $ 上一点,连接 $ E B $,$ E D $。
(1)求证：$ \triangle E B C \cong \triangle E D C $。

(2)延长 $ B E $ 交 $ A D $ 于点 $ F $,当 $ C E = B C $ 时,求 $ \angle E F D $ 的度数。

答案：
(1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AD // BC，BC = CD，∠BCE = ∠DCE = 45°。又
∵ EC = EC，
∴ △EBC ≌ △EDC。
(2)
∵ CE = BC，且 ∠ACB = 45°，
∴ ∠EBC = ∠BEC = 67.5°。
∵ AD // BC，
∴ ∠AFB = ∠FBC = 67.5°。
∴ ∠EFD = 180° - ∠AFB = 112.5°。