《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB= BC,②∠ABC= 90°,③AC= BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形. 现有下列四种选法,其中错误的是()
A. 选①②
B. 选②③
C. 选①③
D. 选②④

答案：

导析：要判定一个四边形是正方形,则需能判定它既是菱形又是矩形. 由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形,由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形,由③得对角线相等的平行四边形是矩形,由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 结合选项可知选①②,①③,②④均能使四边形ABCD是正方形.

解答：B

例2 如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB. 求证：四边形BEDF是正方形.

答案： 解答：
∵∠ABC= 90°,DE⊥BC,DF⊥AB,
∴∠BFD= ∠BED= ∠ABC= 90°.
∴四边形BEDF为矩形. 又
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥AB,
∴DF= DE.
∴矩形BEDF为正方形.

1. 如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起. 请添加一个条件：____,使四边形ABCD是正方形.

答案： $ \angle ABC = 90^{\circ} $（答案不唯一）

2. 如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是DB延长线上一点,且△ACE是等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AEB= 2∠EAB,求证：四边形ABCD是正方形.

答案：
(1) $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是平行四边形，$ \therefore AO = CO $。$ \because \triangle ACE $ 是等边三角形，$ \therefore AE = CE $。$ \therefore BE \perp AC $，即 $ BD \perp AC $。$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形。
(2) 易证 $ \triangle AOE $ 是直角三角形，$ \therefore \angle AEB + \angle EAO = 90^{\circ} $。$ \because \triangle ACE $ 是等边三角形，$ \therefore \angle EAO = 60^{\circ} $。$ \therefore \angle AEB = 30^{\circ} $。$ \because \angle AEB = 2 \angle EAB $，$ \therefore \angle EAB = 15^{\circ} $。$ \therefore \angle BAO = \angle EAO - \angle EAB = 60^{\circ} - 15^{\circ} = 45^{\circ} $。又 $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形，$ \therefore \angle BAD = 2 \angle BAO = 90^{\circ} $。$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形。