《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

3. 已知$ x = - 1 是关于 x 的方程 x^{2} - 2x + c = 0 $的一个根,求$ c $的值。

答案： $\because x = -1$是关于$x$的方程$x^{2} - 2x + c = 0$的一个根，$\therefore (-1)^{2} - 2×(-1) + c = 0$。$\therefore c = -3$。

1. 若关于$ x 的方程 (m - 2)x^{2} + x - 1 = 0 $是一元二次方程,则$ m $的取值范围是 ()
A. $ m \neq 2 $
B. $ m = 2 $
C. $ m \geqslant 2 $
D. $ m \neq 0 $

答案： A

2. 一元二次方程$ x^{2} + 7x - 1 = 0 $的二次项系数、一次项系数与常数项分别是 ()
A. 1,7,1
B. 0,7,$ - 1 $
C. 1,7,$ - 1 $
D. 0,7,1

答案： C

3. 某一元二次方程的一个根为2,则这个方程可能是______。

答案： $x^{2} - 2x = 0$（答案不唯一）

4. 关于$ x 的一元二次方程 (m - 3)x^{2} - 5x + m^{2} - 9 = 0 $不含常数项,则$ m $的值为______。

答案： -3

5. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2m,另一边减少了3m,剩余一块面积为$ 20m^{2} $的矩形空地。设原正方形空地的边长为$ xm $,则可列方程为______。

答案： $(x - 3)(x - 2) = 20$

6. 把下列关于$ x $的方程化为一元二次方程的一般形式,并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。
(1)$ (x + 3)(x - 3) = 3x^{2} + 2x $；
(2)$ \frac{x^{2}}{3} - \frac{x + 1}{2} = 1 $。

答案：
(1) 一般形式为$2x^{2} + 2x + 9 = 0$。它的二次项系数为 2，一次项系数为 2，常数项为 9。
(2) 一般形式为$2x^{2} - 3x - 9 = 0$。它的二次项系数为 2，一次项系数为 -3，常数项为 -9。

7. 已知关于$ x 的一元二次方程 ax^{2} + bx + c = 0 $($ a \neq 0 $)。
(1)如果方程有一个根是1,那么$ a $,$ b $,$ c $之间有什么关系？
(2)如果方程有一个根是$ - 1 $,那么$ a $,$ b $,$ c $之间有什么关系？
(3)如果方程有一个根是0,那么方程的系数或常数项有什么特征？

答案：
(1) 将$x = 1$代入原方程得$a×1 + b×1 + c = 0$，则$a + b + c = 0$。
(2) 将$x = -1$代入原方程得$a×(-1)^{2} + b×(-1) + c = 0$，则$a - b + c = 0$。
(3) 将$x = 0$代入原方程得$a×0 + b×0 + c = 0$，$\therefore c = 0$。