《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 下列方程是一元二次方程的是 ()
A. $ 9x - 7x^{2} = 8 $ B. $ 5x + 8 = 0 $
C. $ 4x^{3} + 7x = 0 $ D. $ x^{2} + \frac{1}{x} = 6 $

答案：

导析：判定一个方程是一元二次方程需满足：①原方程是整式方程；②原方程中只含有一个未知数；③将方程整理后,未知数的最高次数为2,三个条件缺一不可。

解答：A

1. 若方程$ \square - 3 = x 是关于 x $的一元二次方程,则“$ \square $”可以是 ()
A. $ - 3x $
B. $ 3^{2} $
C. $ 3x^{2} $
D. $ y^{2} $

答案： C

例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
(1)$ (x - 5)^{2} = 36 $；
(2)$ 3y(y + 1) = 2(y + 1) $。

答案：

导析：在求各项系数时,应把一元二次方程化成一般形式,指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号。

解答：
(1)一元二次方程$ (x - 5)^{2} = 36 $的一般形式是：$ x^{2} - 10x - 11 = 0 $,二次项系数是1,一次项系数是$ - 10 $,常数项是$ - 11 $。

(2)一元二次方程$ 3y(y + 1) = 2(y + 1) $的一般形式是：$ 3y^{2} + y - 2 = 0 $,二次项系数是3,一次项系数是1,常数项是$ - 2 $。

2. 已知一元二次方程$ (3x - 2)(x + 1) = 8x - 3 $。
(1)将方程化成一般形式；
(2)写出二次项系数、一次项系数和常数项。

答案：
(1) 方程$(3x - 2)(x + 1) = 8x - 3$可化为$3x^{2} - 7x + 1 = 0$，所以此方程的一般形式为$3x^{2} - 7x + 1 = 0$。
(2) 由
(1)中所得方程的一般形式可知，此方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：3，-7，1。

例3 已知$ a 是方程 x^{2} - 3x - 21 = 0 $的根,求代数式$ (2a + 3)(2a - 3) - a(a + 9) $的值。

答案：

导析：根据$ a 是一元二次方程 x^{2} - 3x - 21 = 0 的根可得 a^{2} - 3a - 21 = 0 $,然后变形,代入化简后的代数式计算即可。

解答：由条件可知$ a^{2} - 3a - 21 = 0 $,

$ \therefore a^{2} - 3a = 21 $。

$ \therefore 原式 = 4a^{2} - 9 - a^{2} - 9a = 3a^{2} - 9a - 9 = 3(a^{2} - 3a) - 9 = 3 × 21 - 9 = 54 $。