《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 用配方法解方程 $ 2x^{2}-x - 1 = 0 $.

答案：

解答:两边同除以2,得 $ x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}= 0 $.

配方,得 $ x^{2}-\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^{2}-(\frac{1}{4})^{2}-\frac{1}{2}= 0 $,

整理并移项,得 $ (x-\frac{1}{4})^{2}= \frac{9}{16} $.

两边开平方,得 $ x-\frac{1}{4}= \pm\frac{3}{4} $,

所以 $ x_{1}= 1,x_{2}= -\frac{1}{2} $.

方法归纳:将方程的二次项系数化为1后,在方程两边同时加上一次项系数一半的平方,完成配方后,把常数项移到等式右边,再根据等式右边常数的正负性来确定方程的根的情况.

1.解方程:
(1)$ 2x^{2}-8x + 3 = 0 $; (2)$ 3x^{2}+2x = 4x + 1 $.

答案：
(1)$x_{1}=2+\frac {\sqrt {10}}{2},x_{2}=2-\frac {\sqrt {10}}{2}$.
(2)$x_{1}=1,x_{2}=-\frac {1}{3}$.

例2 若a,b,c分别是$ \triangle ABC $的三边长,且$ a^{2}+4b^{2}+c^{2}-2ab - 6b - 2c + 4 = 0 $.试判断$ \triangle ABC $的形状,并说明理由.

答案：

导析:先把等式的左边配方,然后根据非负数的性质求出a,b,c的值,再判断三角形的形状.

解答:$ \triangle ABC $是等边三角形.理由如下:

$ \because a^{2}+4b^{2}+c^{2}-2ab - 6b - 2c + 4= (a - b)^{2}+3(b - 1)^{2}+(c - 1)^{2}= 0 $,$ \therefore a = b = c = 1 $.

$ \therefore \triangle ABC $是等边三角形.

2.已知 $ a^{2}+b^{2}+2a + 4b + 5 = 0 $,求 $ a^{b} $ 的值.

答案： $a^{2}+b^{2}+2a+4b+5=a^{2}+2a+1+b^{2}+4b+4=(a+1)^{2}+(b+2)^{2}=0.\therefore (a+1)^{2}=0,(b+2)^{2}=0$,解得$a=-1,b=-2$.
$\therefore a^{b}=(-1)^{-2}=1$.