《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 如图,已知 $ AC = \sqrt { 2 } \mathrm { cm } $,小红作了如下操作：分别以点 $ A $,$ C $ 为圆心,$ 1 \mathrm { cm } $ 长为半径作弧,两弧分别相交于点 $ B $,$ D $,依次连接点 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $,则四边形 $ A B C D $ 的形状是()

A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形

答案： 解答：D

1. 如图,在矩形 $ A B C D $ 中,对角线 $ A C $,$ B D $ 交于点 $ O $。添加下列一个条件,能使矩形 $ A B C D $ 成为正方形的是()

A. $ B D = A C $
B. $ C D = A D $
C. $ \angle A O B = 60 ^ { \circ } $
D. $ O D = C D $

答案： B

例2 如图,在正方形 $ A B C D $ 中,延长 $ B C $ 到点 $ E $,使 $ C E = B D $,连接 $ A E $ 交 $ C D $ 于点 $ F $,求 $ \angle A F C $ 的度数。
导析：已知 $ C E $ 与对角线 $ B D $ 相等,而 $ A C = B D $,故 $ A C = C E $。在等腰三角形 $ A C E $ 中可求出 $ \angle E $ 的度数,再根据外角的性质即可求出 $ \angle A F C $ 的度数。

答案：

解答：
∵ 四边形 $ A B C D $ 是正方形,
∴ $ A C = B D $,$ \angle A C B = 45 ^ { \circ } $。又
∵ $ C E = B D $,
∴ $ A C = C E $。
∴ $ \angle E = \angle C A E $。
∵ $ \angle A C B = \angle E + \angle C A E = 2 \angle E $,
∴ $ \angle E = \frac { 1 } { 2 } \angle A C B = \frac { 1 } { 2 } × 45 ^ { \circ } = 22.5 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle A F C = \angle E C F + \angle E = 90 ^ { \circ } + 22.5 ^ { \circ } = 112.5 ^ { \circ } $。

方法归纳：正方形既是矩形,又是菱形,因此它具有矩形与菱形的所有性质,可充分利用这些性质解决问题。

2. 如图,在正方形 $ A B C D $ 中,$ E $ 为 $ C D $ 边上一点,$ F $ 为 $ B C $ 延长线上一点,且 $ C E = C F $。$ B E $ 与 $ D F $ 之间有怎样的关系？请说明理由。

答案： BE = DF，且 BE⊥DF。理由：延长 BE 交 DF 于点 G。
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ BC = DC，∠BCE = ∠DCF = 90°。在△BCE 和△DCF 中，$\left\{ \begin{array} { l } { B C = D C , } \\ { \angle B C E = \angle D C F , } \\ { C E = C F , } \end{array} \right. $
∴ △BCE ≌ △DCF (SAS)。
∴ BE = DF，∠CBE = ∠CDF。
∴ ∠BGD = ∠F + ∠CBE = ∠F + ∠CDF = 90°。
∴ BE⊥DF。