《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 解方程:
(1)$x^{2}-25= 0$; (2)$(x+1)^{2}= 49$.

答案：

解答:
(1)$\because x^{2}-25= 0$,

$\therefore x^{2}= 25$.

$\therefore x_{1}= 5,x_{2}= -5$.

(2)$\because (x+1)^{2}= 49$,

$\therefore x+1= \pm 7$.

$\therefore x+1= 7$,或$x+1= -7$.

$\therefore x_{1}= 6,x_{2}= -8$.

方法归纳:形如$x^{2}= k,(nx+m)^{2}= k(k≥0)$的方程是最简单的一元二次方程,“开平方”是解这种方程最直接的方法。“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一。

1.老师出示问题:“解方程$x^{2}-1= 0$.”四位同学给出了以下答案:
甲:$x= 1$;
乙:$x_{1}= x_{2}= 1$;
丙:$x_{1}= x_{2}= -1$;
丁:$x_{1}= 1,x_{2}= -1$.
下列判断正确的是 ()
A.甲正确
B.乙正确
C.丙正确
D.丁正确

答案： D

例2 解方程:$x^{2}-4x+4= 5$.

答案：

导析:先把$x^{2}-4x+4$化为完全平方的形式,然后根据平方根的意义求解.

解答:原方程可化为$(x-2)^{2}= 5$,

$\therefore x-2= \pm \sqrt {5}$,即$x-2= \sqrt {5}$,或$x-2= -\sqrt {5}$.

$\therefore x_{1}= 2+\sqrt {5},x_{2}= 2-\sqrt {5}$.

方法归纳:用配方法解一元二次方程时,先把方程化为$(x+m)^{2}= p$的形式,当$p≥0$时,直接开平方求得方程的根.

2.将一元二次方程$x^{2}-2x-1= 0通过配方转化为(x+a)^{2}= b$的形式,下列结果中正确的是 ()
A.$(x-2)^{2}= 2$
B.$(x-1)^{2}= 0$
C.$(x-1)^{2}= -2$
D.$(x-1)^{2}= 2$

答案： D