《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

1. 下列平行四边形中,根据图中所标出的数据,不一定是菱形的是()

答案： D

2. 下列说法正确的是()
A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 对角线相互垂直的四边形是菱形
D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形

答案： B

3. 在四边形ABCD中,AB= CD,BC= AD,AC⊥BD,则四边形ABCD的形状是______.

答案： 菱形

4. 边长为3cm的两个等边三角形拼成的四边形的形状是______.

答案： 菱形

5. 如图,A,B两点的坐标分别为(5,0),(1,3),点C是平面直角坐标系内一点.若以O,A,B,C四点为顶点的四边形是菱形,则点C的坐标为______.

答案： (-4, 3)

6. 如图,▱ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,AB= 5,AC= 8,DB= 6.求证：四边形ABCD是菱形.

答案：
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AC 与 BD 互相平分，
∴ AO = $\frac{1}{2}$AC = 4，BO = $\frac{1}{2}$BD = 3.
∵ AB = 5，
∴ $AO^2 + OB^2 = AB^2$.
∴ ∠AOB = 90°.
∴ AC ⊥ BD.
∴ □ABCD 为菱形.

7. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,AB= 6cm,BC= 8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF,A,B,C的对应点分别是D,E,F,连接AD.求证：四边形ACFD是菱形.

答案：
∵ AB = 6 cm，BC = 8 cm，∠ABC = 90°，
∴ AC = $\sqrt{AB^2 + BC^2}$ = 10 cm.
∵ △DEF 为 △ABC 向右平移 10 cm 得到，
∴ AD = CF = 10 cm，DF = AC = 10 cm.
∴ AD = AC = CF = DF.
∴ 四边形 ACFD 为菱形.

8. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯(图①),其正面的平面图如图②所示,四边形ABCD是一个菱形外框架,对角线AC,BD相交于点O,四边形AECF是其内部框架,且点E,F在BD上,BE= DF.
(1)求证：四边形内部框架AECF为菱形；
(2)若外框架ABCD的周长为160cm,BD= 64cm,BE= 14cm,求内部框架AECF的周长.

答案：
(1)
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ OB = OD，OA = OC.
∵ BE = DF，
∴ OE = OF.
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD.
∴ 平行四边形 AECF 是菱形.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是菱形，周长为 160 cm，BD = 64 cm，
∴ AB = 40 cm，OB = OD = 32 cm，AC ⊥ BD.
∴ OE = OB - BE = 32 - 14 = 18(cm)，∠AOE = 90°.
∴ OA = $\sqrt{AB^2 - OB^2}$ = $\sqrt{40^2 - 32^2}$ = 24(cm).
∴ AE = $\sqrt{OA^2 + OE^2}$ = $\sqrt{24^2 + 18^2}$ = 30(cm).
∴ 内部框架 AECF 的周长为 30 × 4 = 120(cm).