《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例3 如图,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$M是AC$的中点,连接$BM$.在$AC的另一侧取点D$,使得$\angle ADC = 90^{\circ}$,连接$MD$,求证：$BM = DM$.

答案： 解答：$\because \angle ADC = 90^{\circ}$,$M是AC$的中点,$\therefore DM是Rt\triangle ACD斜边AC$上的中线.$\therefore DM = AM = CM = \frac{1}{2}AC$.同理可证$BM = AM$,$\therefore BM = DM$.

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D为边BC$的中点,顶点$B$,$C分别对应刻度尺上的2cm和8cm$,求$AD$的长.

答案： 由题意可知 BC = 8 - 2 = 6(cm). 又
∵ ∠BAC = 90°，D 为边 BC 的中点，
∴ AD = $\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$(cm).
∴ AD 的长为 3 cm.

1. 在矩形中,对角线具有的性质是()
A. 相等且互相垂直
B. 相等且互相平分
C. 互相垂直且平分
D. 互相垂直平分内角

答案： B

2. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB ＜ BC$,$AC$,$BD相交于点O$,则图中等腰三角形的个数是()

A. 8
B. 6
C. 4
D. 2

答案： C

3. 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$\angle ACB = 30^{\circ}$,则$\angle AOB$的大小为()

A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

答案： B

4. 如图,在矩形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$AC = 6$,则$OD = $______.

答案： 3

5. 在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 10$,点$D为AB$的中点,则$CD = $______.

答案： 5

6. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$,$F分别在AB$,$CD$边上,$BE = DF$,连接$CE$,$AF$. 求证：$AF = CE$.

答案：
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴ AB = CD，AB // CD.
∵ BE = DF，
∴ CF = AE.
∴ 四边形 AECF 为平行四边形.
∴ AF = CE.

7. 如图,$\triangle ABC$中,$AD \perp BC$,$CE是\triangle ABC$的中线,$DG垂直平分CE$.
(1)求证：$CD = AE$；
(2)若$\angle B = 50^{\circ}$,求$\angle BCE$的度数.

答案：
(1)
∵ AD ⊥ BC，CE 是 △ABC 的中线，
∴ DE = $\frac{1}{2}AB = BE = AE$.
∵ DG 垂直平分 CE，
∴ DE = DC.
∴ CD = AE.
(2)
∵ DE = DC，
∴ ∠DEC = ∠BCE.
∴ ∠EDB = ∠BCE + ∠DEC = 2∠BCE.
∵ DE = BE，
∴ ∠B = ∠EDB.
∴ ∠B = 2∠BCE.
∵ ∠B = 50°，
∴ ∠BCE = 25°.