《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 在数学课上,老师要求在一个已知的平行四边形ABCD中,以平行四边形的两个顶点为顶点,利用尺规作一个菱形,你能试试吗？

答案：

导析：
(1)在$\square ABCD$中,若$AB = BC$(或$BC = CD或CD = DA或DA = AB$),则$\square ABCD$是菱形；
(2)菱形必须具备两个条件：①平行四边形；②一组邻边相等.二者同时满足,缺一不可.

解答：如图,分别以点A,B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点N,交AD于点M,连接MN,四边形ABNM即为所作.$\therefore AM = AB = BN$.$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore BN// AM$.又$\because BN = AM$,$\therefore$四边形ABNM是平行四边形.$\because AM = AB$,$\therefore$四边形ABNM是菱形.

1.如图,在$\square ABCD$中,E,F分别是AB,CD的中点,连接EF.如果只添加一个条件即可证明四边形AEFD是菱形,那么这个条件可以是()

A.$AB\perp AD$
B.$\angle BAD = 60^{\circ}$
C.$AD = EF$
D.$CD = 2AD$

答案： D

例2 如图,下列直线是该菱形的对称轴的是()

A.$l_{3}$
B.$l_{2}和l_{4}$
C.$l_{1}和l_{3}$
D.全部都是

答案：

导析：菱形有两条对称轴,分别是两条对角线所在的直线；它的对称中心为两条对角线的交点.

解答：C

例3 如图,已知菱形ABCD的边长为4cm,$\angle BAD = 120^{\circ}$,对角线AC,BD相交于点O.
(1)求菱形的两条对角线AC和BD的长；
(2)求菱形ABCD的面积.

答案：

导析：由菱形的性质知：菱形的对角线互相垂直平分.在$Rt\triangle BAO$中,可由勾股定理求得BO的长,进而可得出BD的长.再根据菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半,可求出菱形ABCD的面积.

解答：
(1)在菱形ABCD中,$\angle BAO= \frac{1}{2}\angle BAD= \frac{1}{2}×120^{\circ}=60^{\circ}$.又$\because AB = BC$,$\therefore\triangle ABC$为等边三角形.$\therefore AC = AB = 4cm$.在菱形ABCD中,$AC\perp BD$,$\therefore\triangle AOB$为直角三角形.易得$OA= \frac{1}{2}AB = 2cm$.$\therefore OB= \sqrt{AB^{2}-AO^{2}}= \sqrt{4^{2}-2^{2}}= 2\sqrt{3}(cm)$.$\therefore BD = 2BO = 4\sqrt{3}cm$.

(2)$S_{菱形ABCD}= \frac{1}{2}AC\cdot BD= \frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}= 8\sqrt{3}(cm^{2})$.