《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

3.如图,已知$\triangle A B C$是等边三角形,点$D$,$F分别在线段BC$,$AB$上,$\angle E F B = 60 ^ { \circ }$,$D C = E F$.
(1)求证:四边形$EFCD$是平行四边形;
(2)若$B F = E F$,求证:$A E = A D$.

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B = 60°.
∵∠EFB = 60°，
∴EF//DC.
∵DC = EF，
∴四边形EFCD是平行四边形.
(2)连接BE.
∵BF = EF，∠EFB = 60°，
∴△EFB是等边三角形.
∴EB = EF，∠EBF = 60°.
∵DC = EF，
∴EB = DC.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB = 60°，AB = AC.
∴∠EBF = ∠ACB.
∴△AEB≌△ADC.
∴AE = AD.

4.在$\triangle A B C$中,$A B = A C$,点$D在边BC$所在的直线上,过点$D作D F // A C交直线AB于点F$,$D E // A B交直线AC于点E$.

(1)当点$D在边BC$上时,如图①,求证:$D E + D F = A C$.
(2)当点$D在边BC$的延长线上时,如图②;当点$D在边BC$的反向延长线上时,如图③.请分别写出图②、图③中$DE$,$DF$,$AC$之间的数量关系,不需要证明.
(3)若$A C = 6$,$D F = 4$,则$D E = $______.

答案：
(1)
∵DF//AC，DE//AB，
∴四边形AFDE是平行四边形.
∴AF = DE.
∵DF//AC，
∴∠FDB = ∠C.又
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C.
∴∠FDB = ∠B.
∴DF = BF.
∴DE + DF = AF + BF = AB = AC.
(2)图②中:AC + DE = DF.图③中:AC + DF = DE.
(3)2或10

5.如图,在$▱ A B C D$中,$A D = 8$,点$E$,$F分别是BD$,$CD$的中点,则$EF$等于()

A.2
B.3
C.4
D.5

答案： C

6.已知点$O是\triangle A B C$所在平面内一动点,连接$OB$,$OC$,并将$AB$,$OB$,$OC$,$AC的中点D$,$E$,$F$,$G$依次连接起来,能构成四边形$DEFG$.
(1)如图,当点$O在\triangle A B C$内时,求证:四边形$DEFG$是平行四边形.
(2)当点$O在\triangle A B C$外时,(1)的结论是否成立?画出图形并说明理由.

答案：

(1)
∵AB，OB，OC，AC的中点分别为点D，E，F，G，
∴DG，EF分别为△ABC和△OBC的中位线.
∴DG//BC，EF//BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC.
∴DG//EF且DG = EF.
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)
(1)的结论仍然成立.如图所示，当点O在△ABC外时，
∵点D，E，F，G分别为AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG，EF分别为△ABC和△OBC的中位线.
∴DG//BC，EF//BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC.
∴DG//EF且DG = EF.
∴四边形DEFG是平行四边形.