《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

1. 已知四边形ABCD中,∠A= ∠B= ∠C= 90°. 如果添加一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是()
A. ∠D= 90°
B. AB= CD
C. AD= BC
D. BC= CD

答案： D

2. 下列说法不正确的是()
A. 一组邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形

答案： D

3. 如图是一张矩形纸片ABCD. 若将纸片沿DE折叠,使AD落在DC上,点A的对应点是点F,则四边形ADFE的形状是____,依据是____.

答案： 正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形

4. 如图,在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,且DE//AC,DF//AB.
(1)如果∠BAC= 90°,那么四边形AEDF是____形；
(2)如果点D为BC中点,请从下列4个条件“①AD平分∠BAC；②AD⊥BC；③∠BAC= 90°；④AD= $\frac{1}{2}$BC”中,选取两个将其序号填写在横线上,使得四边形AEDF是正方形. 你选择的是____(填序号).

答案：
(1) 矩
(2) ①③（答案不唯一）

5. 如图,已知四边形ABCD是正方形,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. 求证：四边形EFGH是正方形.

答案： $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 为正方形且点 $ E $，$ F $，$ G $，$ H $ 分别为 $ AB $，$ BC $，$ CD $，$ DA $ 的中点，$ \therefore AE = BE = BF = CF = CG = DG = DH = HA $，且 $ \angle AEH = \angle BEF = \angle BFE = \angle CFG = \angle CGF = \angle DGH = \angle DHG = \angle AHE = 45^{\circ} $。$ \therefore \angle HEF = \angle EFG = \angle FGH = \angle EHG = 90^{\circ} $。$ EH = \sqrt{AE^{2} + AH^{2}} = \sqrt{BE^{2} + BF^{2}} = EF = \sqrt{CF^{2} + CG^{2}} = FG = \sqrt{DG^{2} + DH^{2}} = HG $。$ \therefore $ 四边形 $ EFGH $ 为正方形。

6. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直平分,有以下三个选项：①∠ABC= 90°；②AC= BD；$③BC^2+CD^2= BD^2,$从中选择一个合适的选项作为已知条件,使四边形ABCD是正方形.
(1)你选择的条件是____(填序号,填一个即可)；
(2)根据你选择的条件写出证明过程.

答案：
(1) ①（答案不唯一，任选一个并给出证明过程即可）
(2) 设四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 交于 $ O $，$ \because $ 四边形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 互相垂直平分，$ \therefore AO = CO $，$ BO = OD $，$ AC \perp BD $。$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是菱形。$ \because \angle ABC = 90^{\circ} $，$ \therefore $ 四边形 $ ABCD $ 是正方形。