《2025年时习之暑假衔接八年级数学北师大版》

例1 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OA= OC,OB= OD,添加一个条件使四边形ABCD是菱形,那么所添加的条件可以是______(写出一个即可).

答案：

导析：由题易知四边形ABCD为平行四边形,再利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该平行四边形是菱形.

解答：AC⊥BD(或AB= AD)

例2 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC.过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE= DF.求证：四边形ABCD是菱形.

答案： 解答：
∵DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
∴∠AED= ∠CFD= 90°.
∵AB//CD,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠A= ∠C.在△ADE和△CDF中,$\left\{ \begin{array} { l } { \angle A = \angle C , } \\ { \angle A E D = \angle C F D , } \\ { D E = D F , } \end{array} \right.$
∴△ADE≌△CDF(AAS).
∴AD= CD.
∴平行四边形ABCD是菱形.

1. 如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O.以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是()

A. ∠BAC= ∠BCA
B. ∠ABD= ∠CBD
$C. OA^2+OB^2= AD^2$
$D. AD^2+OA^2= OD^2$

答案： D

2. 如图,在△ABC中,AB= AC,点D,E分别为边AB,AC上的点,DE//BC,连接BE,点G为BE的中点,连接DG并延长,交边BC于点F.
(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；
(2)如果∠C= 2∠BEF,求证：四边形DBFE是菱形.

答案：
(1)
∵ DE // BC，
∴ ∠DEG = ∠FBG，∠EDG = ∠BFG，DE // FB.
∵ 点 G 为 BE 的中点，
∴ EG = BG. 在 △DEG 和 △FBG 中，
$\left\{ \begin{array}{l} ∠DEG = ∠FBG, \\ ∠EDG = ∠BFG, \\ EG = BG, \end{array} \right. $
∴ △DEG ≌ △FBG (AAS).
∴ DE = FB.
∴ 四边形 DBFE 是平行四边形.
(2) 由
(1) 知四边形 DBFE 是平行四边形，
∴ BD // EF.
∴ ∠ABC = ∠EFC.
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C.
∴ ∠EFC = ∠C.
∵ ∠C = 2∠BEF，
∴ ∠EFC = 2∠BEF = ∠BEF + ∠EBF.
∴ ∠BEF = ∠EBF.
∴ BF = EF.
∴ 平行四边形 DBFE 是菱形.