《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$AC= 4$,$AB= 5$,则$sinB$的值为(D)

A. $\frac {2}{3}$
B. $\frac {3}{5}$
C. $\frac {3}{4}$
D. $\frac {4}{5}$

答案： D

2. 在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$tanA= \frac {3}{4}$,若将$△ABC$的三边都扩大3倍,则$tanA$的值为(A)
A. $\frac {3}{4}$
B. $\frac {4}{3}$
C. $\frac {9}{4}$
D. $\frac {12}{5}$

答案： A

3. 在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$sinA= \frac {5}{13}$,$BC= 10$,则$AB$的长为26．

答案： 26

4. 如图,$△ABC$的顶点都在正方形网格的格点上,则$cos∠ACB$的值为$\frac{3}{5}$．

答案： $\frac{3}{5}$

5. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$BC= 2$,$sinA= \frac {1}{3}$,求$AC=$$4\sqrt{2}$,$AB=$6及$sinB=$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$的值．

答案： 1. 首先求$AB$的值：
在$Rt\triangle ABC$中，根据正弦函数的定义$\sin A=\frac{BC}{AB}$。
已知$BC = 2$，$\sin A=\frac{1}{3}$，由$\sin A=\frac{BC}{AB}$可得$AB=\frac{BC}{\sin A}$。
把$BC = 2$，$\sin A=\frac{1}{3}$代入$AB=\frac{BC}{\sin A}$，则$AB=\frac{2}{\frac{1}{3}} = 6$。
2. 然后求$AC$的值：
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$。
已知$AB = 6$，$BC = 2$，则$AC=\sqrt{6^{2}-2^{2}}=\sqrt{36 - 4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
3. 最后求$\sin B$的值：
根据正弦函数的定义$\sin B=\frac{AC}{AB}$。
把$AC = 4\sqrt{2}$，$AB = 6$代入$\sin B=\frac{AC}{AB}$，则$\sin B=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
综上，$AC = 4\sqrt{2}$，$AB = 6$，$\sin B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

6. 如图,已知$tanα= \frac {1}{2}$,若$F(4,y)是射线OA$上的点,则点$F$的坐标是$(4,2)$．

答案： $(4,2)$

7. 如图,在半径为3的$\odot O$中,直径$AB与弦CD相交于点E$,连结$AC$,$BD$．若$AC= 2$,求$cosD$的值．$\frac{1}{3}$

答案： 1. 首先，根据圆周角定理：
因为$\angle D$和$\angle A$所对的弧都是$\overset{\frown}{BC}$，所以$\angle D=\angle A$。
2. 然后，连接$BC$：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$\odot O$的半径$r = 3$，则直径$AB=2r = 6$，$AC = 2$。
3. 最后，根据余弦的定义求$\cos A$：
在$Rt\triangle ABC$中，根据余弦的定义$\cos A=\frac{AC}{AB}$（在直角三角形中，一个锐角的余弦等于邻边与斜边的比值）。
把$AC = 2$，$AB = 6$代入$\cos A=\frac{AC}{AB}$，可得$\cos A=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
因为$\angle D=\angle A$，所以$\cos D=\cos A=\frac{1}{3}$。
故$\cos D$的值为$\frac{1}{3}$。

8. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$a$,$b$,$c分别表示Rt△ABC中∠A$,$∠B$,$∠C$的对边．
(1)求$sinA$,$cosB$．
$sinA$=$\frac{a}{c}$，$cosB$=$\frac{a}{c}$．
(2)求$tanA$,$tanB$,$tanA\cdot tanB$．
$tanA$=$\frac{a}{b}$，$tanB$=$\frac{b}{a}$，$tanA\cdot tanB$=1．
(3)观察(1)(2)中的计算结果,若$α+β= 90^{\circ }$,试猜想$sinα与cosβ$,$tanα与tanβ$之间的关系．
$sinα$与$cosβ$的关系为$sinα = cosβ$，$tanα$与$tanβ$的关系为$tanα \cdot tanβ = 1$．
(4)应用：①在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$sinA= \frac {2}{3}$,则$cosB$的值为____$\frac{2}{3}$．
②在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,$tanA= 2$,则$tanB$的值为____$\frac{1}{2}$．

答案： 1. （1）
根据正弦函数和余弦函数的定义：
在$Rt\triangle ABC$中，$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos B = \frac{a}{c}$。
2. （2）
根据正切函数的定义：
$\tan A=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{b}{a}$。
则$\tan A\cdot\tan B=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1$。
3. （3）
由（1）可知：若$\alpha+\beta = 90^{\circ}$，则$\sin\alpha=\cos\beta$；
由（2）可知：若$\alpha+\beta = 90^{\circ}$，则$\tan\alpha\cdot\tan\beta = 1$。
4. （4）
①
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，根据$\sin\alpha=\cos\beta(\alpha+\beta = 90^{\circ})$，已知$\sin A=\frac{2}{3}$，所以$\cos B=\sin A=\frac{2}{3}$。
②
因为$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，根据$\tan\alpha\cdot\tan\beta = 1(\alpha+\beta = 90^{\circ})$，已知$\tan A = 2$，设$\tan B=x$，则$2x = 1$，解得$x=\frac{1}{2}$，所以$\tan B=\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：（1）$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$；（2）$\tan A=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{b}{a}$，$\tan A\cdot\tan B = 1$；（3）$\sin\alpha=\cos\beta$，$\tan\alpha\cdot\tan\beta = 1$；（4）①$\frac{2}{3}$；②$\frac{1}{2}$。