《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. 正八边形的每一个外角的度数为 (B)
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $135^{\circ}$

答案： B

2. 一个圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角为 $40^{\circ}$,则该正多边形的边数是 (C)
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10

答案： C

3. 下列图形中,既属于中心对称图形,又属于轴对称图形的是 (C)
A. 正三角形
B. 正五边形
C. 正六边形
D. 正七边形

答案： C

4. 若正方形的边长为 8,则其外接圆的半径为(B)
A. 3
B. $4\sqrt{2}$
C. 6
D. $8\sqrt{2}$

答案： B

5. 下列关于正多边形的判断,正确的是 (D)
A. 各边相等的多边形是正多边形
B. 各角相等的多边形是正多边形
C. 各角相等的圆内接多边形是正多边形
D. 各边相等的圆内接多边形是正多边形

答案： D

6. 如图,正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$,$\odot O$ 的半径为 1,则边心距 $OM$ 的长为 (B)

A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $2\sqrt{2}$

答案： B

7. 如图,$\odot O$ 是正五边形 $ABCDE$ 的外接圆,则 $\angle ADE$ 的度数为$36^{\circ}$.

答案： $ 36 ^ { \circ } $

8. 已知一个正多边形的一个内角比与它相邻的外角大 $108^{\circ}$,则这个正多边形的边数是______10.

答案： 10

9. 如图,分别按要求画出 $\odot O$ 的内接正多边形.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(1)正方形
(2)正八边形

答案： 本题可根据圆内接正多边形的性质，利用尺规作图的方法进行绘制。
$(1)$ 作$\odot O$的内接正方形
- 作$\odot O$的直径$AC$。
- 作直径$BD\perp AC$，分别交$\odot O$于点$B$、$D$。
- 顺次连接$A$、$B$、$C$、$D$，则四边形$ABCD$就是$\odot O$的内接正方形。
$(2)$ 作$\odot O$的内接正八边形
- 作$\odot O$的直径$AC$。
- 作直径$BD\perp AC$。
- 分别作$\angle AOB$、$\angle BOC$、$\angle COD$、$\angle DOA$的平分线，交$\odot O$于点$E$、$F$、$G$、$H$。
- 顺次连接$A$、$E$、$B$、$F$、$C$、$G$、$D$、$H$，则八边形$AEBFCGDH$就是$\odot O$的内接正八边形。
综上，按照上述步骤，利用尺规作图即可画出$\boldsymbol{\odot O}$的内接**正方形**和**正八边形**（具体图形根据上述步骤用尺规作出，保留作图痕迹） 。

10. 如图,$M$,$N$ 分别是正五边形 $ABCDE$ 的两边 $AB$,$BC$ 上的点,且 $AM = BN$,$O$ 是正五边形的中心,求 $\angle MON$ 的度数.$72^{\circ}$

答案： 1. 首先，求正五边形的中心角：
正$n$边形的中心角$\alpha=\frac{360^{\circ}}{n}$。
对于正五边形$n = 5$，则中心角$\angle AOB=\angle BOC=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$。
2. 然后，证明$\triangle AOM\cong\triangle BON$：
因为正五边形$ABCDE$，$OA = OB$（正五边形的半径相等），$\angle OAM=\angle OBN$（正五边形的中心角到边的夹角相等，$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ}-\angle AOB}{2}=\frac{180 - 72}{2}=54^{\circ}$），且已知$AM = BN$。
根据$SAS$（边角边）判定定理：在$\triangle AOM$和$\triangle BON$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OB\\\angle OAM=\angle OBN\\AM = BN\end{array}\right.$，所以$\triangle AOM\cong\triangle BON$。
3. 最后，求$\angle MON$的度数：
由$\triangle AOM\cong\triangle BON$，可得$\angle AOM=\angle BON$。
又因为$\angle MON=\angle MOB+\angle BON$，$\angle AOB=\angle AOM+\angle MOB$。
所以$\angle MON=\angle AOB$。
解：正五边形的中心角$\angle AOB=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$。
因为$OA = OB$，$\angle OAM=\angle OBN$，$AM = BN$，所以$\triangle AOM\cong\triangle BON(SAS)$。
则$\angle AOM=\angle BON$。
而$\angle MON=\angle MOB+\angle BON$，$\angle AOB=\angle AOM+\angle MOB$。
所以$\angle MON=\angle AOB = 72^{\circ}$。
故$\angle MON$的度数为$72^{\circ}$。