《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. 下列能判定$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$的条件是 (D)
A. $\frac { A B } { D E } = \frac { A C } { D F }$
B. $\frac { A B } { D E } = \frac { A C } { D F }$,$\angle A = \angle F$
C. $\frac { A B } { D E } = \frac { A C } { D F }$,$\angle B = \angle E$
D. $\frac { A B } { D E } = \frac { A C } { D F }$,$\angle A = \angle D$

答案： D

2. 如图,下列四个三角形中,相似的三角形是(B)

A. ①和③
B. ①和④
C. ②和③
D. ③和④

答案： B

3. 如图,四边形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,且将这个四边形分成①,②,③,④这四个三角形. 若$OA:OC = OB:OD$,则下列结论中,一定正确的是 (B)

A. ①和②相似
B. ①和③相似
C. ①和④相似
D. ②和④相似

答案： $\boldsymbol{B}$

4. 如图,$A$,$B$两点被池塘隔开,在$AB外任选一点C$,连结$AC$,$BC$,分别取其三等分点$M$,$N$($\frac { C M } { C A } = \frac { C N } { C B } = \frac { 1 } { 3 }$),量得$MN = 38 m$,则$AB$的长是 (B)

A. $152 m$
B. $114 m$
C. $104 m$
D. $76 m$

答案： B

5. 如图,点$D$,$E分别在AB$,$AC$上,若$AB = 2AE$,$AC = 2AD$,$DE = 5$,则$BC$的长为______10.

答案： $10$

6. 如图,$AD \perp BC于点D$,$BD = 2CD$,$AE = ED$,$AB = 2$,则$EC$的长为______$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{2}$

7. 如图,$AD$,$BC相交于点O$,$AO \cdot OD = CO \cdot BO$. 求证：$\triangle ABO \backsim \triangle CDO$.

证明：在$\triangle ABO$和$\triangle CDO$中，
$\because AO\cdot OD = CO\cdot BO$，
$\therefore\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，
又$\because\angle AOB=\angle COD$（对顶角相等），
$\therefore\triangle ABO\backsim\triangle CDO$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

答案： 在$\triangle ABO$和$\triangle CDO$中，
$\because AO\cdot OD = CO\cdot BO$，
$\therefore\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，
又$\because\angle AOB=\angle COD$（对顶角相等），
$\therefore\triangle ABO\backsim\triangle CDO$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD = CE$,$2AD = 3AE$,$2BD = 3CD$,求证：$\triangle ABD \backsim \triangle ACE$.
证明：因为$2AD = 3AE$，所以$\frac{AD}{AE}=$$\frac{3}{2}$；
因为$2BD = 3CD$且$CD = CE$，所以$\frac{BD}{CE}=$$\frac{3}{2}$，即$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$；
又$\angle BAD=\angle CAE$，
所以$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）.

答案： 因为$2AD = 3AE$，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{3}{2}$；
因为$2BD = 3CD$且$CD = CE$，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{3}{2}$，即$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$；
又$\angle BAD=\angle CAE$，
所以$\triangle ABD\backsim\triangle ACE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。