《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

例1 (2024秋·金华婺城期末)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象如图所示,则关于x的方程$ax^{2}+bx + c + 3 = 0$的根的情况是(C)

A. 无实数根
B. 有两个异号实数根
C. 有两个同号不等实数根
D. 有两个相等实数根

答案： C

跟踪训练1-1 已知抛物线$y = -x^{2}+bx + 3的顶点坐标为(1,4)$,若关于x的一元二次方程$-x^{2}+bx + 3 - t = 0的解均满足-1 ＜ x ＜ 5$,则实数t的取值范围是(C)
A. $-12 ＜ t ＜ 4$
B. $-12 ＜ t \leq 4$
C. $0 ＜ t \leq 4$
D. $-12 ＜ t ＜ 0$

答案： C

跟踪训练1-2 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a,b,c$为常数,$a \neq 0)$交x轴于$A(-2,0),B(4,0)$两点,则不等式$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} ＞ 0$的解为(D)

A. $-2 ＜ x ＜ 4$
B. $-4 ＜ x ＜ 2$
C. $x ＜ -4或x ＞ 2$
D. $x ＜ -2或x ＞ 4$

答案： D

例2 如图,二次函数$y_{1}= ax^{2}+bx + 3$的图象与x轴相交于点$A(-3,0),B(-1,0)$,与y轴相交于点C.
(1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标.$y_{1}=x^{2}+4x+3$，顶点坐标为$(-2,-1)$．
(2)若一次函数$y_{2}= kx + 3$的图象经过二次函数图象的顶点,请根据图象直接写出当$y_{1} ＞ y_{2}$时x的取值范围.$x＜-2$或$x＞0$．

答案：
(1)$y_{1}=x^{2}+4x+3$，顶点坐标为$(-2,-1)$．
(2)$x＜-2$或$x＞0$．

跟踪训练2-1 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c与直线y = x + 2相交于点A(m,3),B(n,0)$,则关于x的方程$ax^{2}+bx + c = x + 2$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$.

答案： $x_{1}=1$，$x_{2}=-2$

跟踪训练2-2 如图,已知一次函数$y = kx + b(k \neq 0)的图象与二次函数y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2}-2的图象相交于点A(1,m),B(-2,n)$.
(1)求一次函数的表达式.$y=\frac{3}{2}x+1$
(2)请根据函数图象直接写出关于x的不等式$kx + b ＜ \frac{1}{2}(x + 2)^{2}-2$的解.$x＜-2$或$x＞1$
(3)当$-3 \leq x \leq 1$时,抛物线与直线$y = n$只有一个交点,求n的取值范围.$-\frac{3}{2}＜n\leqslant \frac{5}{2}$或$n=-2$

答案：
(1)$y=\frac{3}{2}x+1$．
(2)$x＜-2$或$x＞1$．
(3)$-\frac{3}{2}＜n\leqslant \frac{5}{2}$或$n=-2$．