《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册冀教版》

8. 2024·福建 新考向·数学文化 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

答案：
B　【点拨】列表如下：

由表可知，共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有(3,5)，(5,3)，共2种，
∴和是偶数的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
点方法：两步概率问题，列举首选列表法。当试验含有两个因素，且可能出现的结果比较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，用列表法较好，通过表格确定所有等可能的结果数和关注事件的结果数，代入概率公式求解.

9. [2024承德期末]嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口的示意图.嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观.
（1）参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是______；
　　　　　　　　　　　
（2）参观结束后，嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率是________.

答案：
(1)$\frac{1}{3}$　
(2)$\frac{1}{3}$

10. 某商场于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：一个不透明的袋中装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球.从袋中随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则没有中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小、质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
（1）该顾客首次摸球中奖的概率为________.
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.

答案：
【解】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)他应往袋中加入黄球. 理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：

由表可知，共有20种等可能的结果.
①若往袋中加入的是红球，则两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率为$\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$；
②若往袋中加入的是黄球，则两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率为$\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.
∵$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}$，
∴他应往袋中加入黄球.

11. 有四个完全相同的小球，分别标注-2，-1，1，3这四个数字，把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为$k$的概率记作$P_k$（如：$P_3$是任取两个小球，所标数字之和的绝对值为3的概率）.
（1）$P_1 =$________.
（2）张亮认为：“$P_k$的所有取值的众数大于它们的平均数.”你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明.
（3）能否找到概率$P_i$，$P_j$，$P_m$（$i ＜ j ＜ m$），使$P_i + P_j + P_m = 0.5$？若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由.

答案： 【解】
(1)$\frac{1}{3}$ 【点拨】列表如下：
|第1个|第2个|-2|-1|1|3|
|----|----|----|----|----|----|
|-2| |$|-1 - 2| = 3$|$|1 - 2| = 1$|$|3 - 2| = 1$|
|-1|$|-2 - 1| = 3$| |$|1 - 1| = 0$|$|3 - 1| = 2$|
|1|$|-2 + 1| = 1$|$|-1 + 1| = 0$| |$|3 + 1| = 4$|
|3|$|-2 + 3| = 1$|$|-1 + 3| = 2$|$|1 + 3| = 4$| |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中取出的两个小球所标数字之和的绝对值为1的结果有4种，
∴取出的两个小球所标数字之和的绝对值为1的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.
(2)易得$P_5=\frac{1}{6}$，$P_1=\frac{1}{3}$，$P_2=\frac{1}{6}$，$P_3=\frac{1}{6}$，$P_4=\frac{1}{6}$，
∴$P_k$的所有取值的众数为$\frac{1}{6}$，易得$P_k$的所有取值的平均数为$\frac{1}{5}$.
∵$\frac{1}{6}＜\frac{1}{5}$，
∴张亮的想法是错误的.
(3)能找到. 当$i = 2$，$j = 3$，$m = 4$时，$P_i+P_j+P_m=P_2+P_3+P_4=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=0.5$. (举例不唯一)